高考理科数学专题十一 应用题的解法

1、专题十一 应用题的解法,第二部分,应试策略 ,考题剖析 ,试题特点 ,03,06,15,应用题的解法,应用题能考查学生对数学知识的灵活转化和实际应用的能力，能全面体现学生的数学综合素质，所以很受试卷命题人的青睐，并成为每年高考题的必备题型.高考应用题是高考成绩的分水岭，许多中等成绩的同学在处理此类题目时，往往难以下手，不知如何处理繁杂的条件，如何建立数学模型；在运算时，由于生活经验的缺失，不知如何处理数据.这些都是常见的错误.,试题特点,返回目录,应用题的解法,近三年高考应用题出现如下特点：1.命题点集中：2005年应用题，除了上海、湖南、天津；2006年应用题除上海(三角)、湖北(抽样)、江苏(立几)以外所有省市命题均集中在概率与统计这一知识点，等可能事件、互斥事件、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列及数学期望结合出题成为热点.但对于2007年各地试卷而言,虽说概率统计还是出应用题的热门素材(有11道)外,另传统内容也出现了回热现象,涉及函数4道,三角2道,数列1道,立几1道,更有宁夏/海南卷出现了三角与概率各一道共两道应用大题.,试题特点,返回目录,应用题的解法,2.背景丰富公

2、平：应用题命题背景出现了种子发芽、五局三胜的比赛、射击、取球、中奖等等学生耳熟能详，审题时认同感强，理解准确.3.运算设计合理，应用题主要出现在18题20题，题目难度不是很大，但题目设计的运算有数字运算也有字母运算，对运算的稳定度、运算的准确度要求较高.,试题特点,返回目录,应用题的解法,应 试 策 略,返回目录,1. 应用题的背景丰富，题目灵活多变，但应用题的解答却是一个程序化的过程： （1）审题：解题的前提；应用题往往题干较长，文字表述较多.在审题时，要注意抓住题目中的关键词、关键句，如：至多、至少、直到两人中有一人取到白球，尤其是题目中出现的新词，往往这些新词是平常生活中不太熟悉的，要求把这些新词单独提取出来，如：2005年湖南卷中出现的新词汇有：鱼群的总量、鱼群的繁殖量、被捕捞量、死亡量；当这些词汇被提取出来后，要理顺各种数量之间的关系，解题就可以进入第二步.,应试策略,返回目录,应用题的解法,（2）建模：即用数学语言翻译文字描述，并建立数学模型，这是解题的关键；数学模型的建立主要有两种途径，一利用所学的数学知识如函数、数列、不等式、圆锥曲线、概率等，与题目所给信息相结合，建立

3、数学模型；二是利用题目所给的已知量、未知量、常量、变量等建立数学关系，题目中所给的条件就是题目中所出现的新词汇，如湖南卷中出现的新词汇就可以组成等量关系：鱼群第n+1年的总量=鱼群第n年的总量+鱼群的繁殖量被捕捞量死亡量.,应试策略,返回目录,应用题的解法,（3）运算：基本等同于常规理论题的解答，这是正确解答必不可少的环节，应用题的运算包括字母运算和数字运算，无论哪种运算，都要求考虑实际的意义、题目的要求精度（如保留几位小数等）、运算方法的优化问题等.综上分析，应用题是用文字表述，具有一定的事理，它和一般解答题有明显的不同.一般解答题有现成的式子，计算方法和次序都是明确的，逻辑推理能力要求高，而应用题同时还考查了学生的“用所学基础知识分析和解决问题的能力”.,应试策略,返回目录,应用题的解法,2.应用题在考查知识上主要有：（1）函数、不等式的应用题，大多是以函数知识为背景设计，所涉及的函数主要是一次函数，反比例函数，二次函数、分段函数，以及形如y=ax+ 的函数等.解答此类应用题一般都是从建立函数表达式入手，将实际问题数学化，即将文字语言向数学的符号语言或图形语言转化，最终构建函数、不

4、等式的数学模型，在题目给出的实际定义域内求解.此类题目在求解时，要注意仔细分析，捕捉题目中的新词汇及数量关系，对于较复杂的数量关系可以根据事物的类别、时间的先后、问题的项目对题目中给出的已知量、未知量、常量的归类，或画出图表，建立等式、不等式，将复杂的数量关系清晰化，从而建立数学模型，进行求解，最后还要注意检验所求是否符合实际意义.,应试策略,返回目录,应用题的解法,（2）数列、不等式应用题，大多以数列知识知识为背景，所涉及的知识有数列的首项、通项公式、项数、递推公式、前n项和公式及an与Sn的关系等等；常见的命题点有：平均增长率、利率（复利）、分期付款、等值增减或等量增减的问题.常用的数学模型有：构造等差、等比数列的模型，然后应用数列求和或特殊数列求和求解；利用无穷等比数列的求和公式求解，往往与极限结合出题；构造数列通项的递推公式或Sn的递推公式，利用待定系数法或an与Sn的关系求解，注意n的范围问题；通过类比归纳得出结论，用数学归纳法或数列的知识求解.,应试策略,应用题的解法,(3)三角、向量应用题，引入角作为参变量，构造三角形，借助正弦定理、余弦定理、三角函数公式、三角函数的最值

5、、反三角函数、向量、不等式、图象的对称及平移等知识，求解实际问题，对于参变量的角要注意角的范围.(4)解析几何应用题，在新教材引入“线性规划”后，使此类题目的命题点从原来的椭圆应用题、双曲线应用题、抛物线应用题又增加了线性规划应用题，解此类应用题往往在理解题意的基础上，利用先行规划求最优解、直线的夹角定比分点公式、或利用圆锥曲线的定义或性质、使用导数与切线的关系等求解问题.,应试策略,应用题的解法,(5)排列组合、概率应用题，此类问题无论从内容还是从思想上都能体现实际应用的意义.排列组合的问题、抽样方法常出现在选择或填空的小应用题，常考查有限定条件的组合与排列问题，从正面或反面入手，当限定条件较多时，正面求解要注意树图列举法的使用或分类讨论思想的应用；当正面突破较困难时要注意反面考虑；抽样方法主要考查概念，在选择填空题里出现较多，属于容易题.概率题目主要出现在解答题，分布列及数学期望是高考的热点，考查分类讨论、化归思想，独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望及方差、标准差；正态分布都可能成为考查的对象.,应试策略,应用题的解法,3.要做好高考应用题，要注意以下三个方面：(1)文

6、字关：即阅读理解题意，罗列题目的条件，分清题目中的已知量、未知量、常量、变量、新词汇，分析题目所求，思考可能采用的方法审题(2)建模关：建立数学模型主要包括代数建模、几何建模，其中代数建模主要利用函数、数列、不等式、概率等知识进行建模，其难度主要在阅读题意，建立等式或不等关系上；几何建模主要是利用解析几何知识，建立直角坐标系，使实际问题几何化，解决实际问题.(3)运算关：考查学生运算的稳定度，精确度.,应试策略,应用题的解法,考 题 剖 析,返回目录,1.（2007梅州市二模）某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.（）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；（）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）.问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由.,考题剖析,返回目录,应用题的解法,考题剖析,解析（）设该厂应隔x(xN+)天购买一次饲料，平 均每天支付的总费用为y1 饲料的保管与其它费用每天比前一天少20

7、00.03=6（元）， x天饲料的保管与其它费用共是 6(x1)+6(x2)+6=3x23x(元) 从而有y1= (3x23x+300)+2001.8= +3x+357417 当且仅当 =3x，即x=10时，y1有最小值 即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.,返回目录,应用题的解法,考题剖析,（）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次 饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x25)购买一次饲 料，平均每天支付的总费用为y2，则 y2= (3x23x+300)+2001.80.85= +3x+303(x25) y2= +3 当x25时，y20，即函数y2在25，+)上是增函数 当x=25时，y2取得最小值为390，而390417 该厂应接受此优惠条件,返回目录,应用题的解法,考题剖析,点 评这是一道以常见的进货及储存费用为背景而命题的应用题.审题时要注意是平均价格的计算，此题涉及到利用基本不等式求最值的知识，要注意应用均值不等式的条件，在第一问中可以直接应用均值不等式进行计算，而第二问最利用函数的单调性来求解.,返回目录,应用题的解法,考题剖析,2.（2007福建

8、）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为(12x)2万件.（）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).,解析（）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为: L=(x3a)(12x)2，x9，11.,返回目录,应用题的解法,考题剖析,（）L(x)=(12x)22(x3a)(12x)=(12x)(18+2a3x). 令L=0得x=6+ a或x=12（不合题意，舍去）. 3a5，86+ a . 在x=6+ a两侧L的值由正变负. 所以:（1）当86+ a9即3a 时， Lmax=L(9)=(93a)(129)2=9(6a).,返回目录,应用题的解法,考题剖析,（2）当96+ a 即 a5时， Lmax=L(6+a)=(6+ a3a)12(6+ a)2=4(3 a)3， 所以Q(a)=答：若3a ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=9(6a)（万

9、元）；若 a5，则当每件售价为(6+ a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(3 a)3（万元）.,返回目录,应用题的解法,考题剖析,点 评本题主要考查函数及应用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力. 本题关键是求出利润L（万元）与售价x的函数关系式，从而将待求的最值转化为目标函数三次函数的最值，这时方法明朗即利用导数求最值.,返回目录,应用题的解法,考题剖析,3.（2007湖南部分学校联考）关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：方案甲：按现状进行运营.据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元.方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力.港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营.据测算，开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第5年的水平上.（1）从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？（2）从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（收益收入投资）,返回目录,应用题的解法,考题剖析,解析（1）设从明年开始经过第n年，方案乙的 累计总收益为正数. 在方案乙中，前4年的总收入为=26006000, 故n必定不小于5， 则由 2600+3201.54(n4)6000， 解得n6 ,故n的最小值为7. 答: 从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资.,返回目录,应用题的解法,考题剖析,（2）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1, y2万元，则y1=760n50n+ n(n1)20=10n2+720n, 当n4时，则y10, y20,可得y1y2.当n5时，y2=2600+3201.54(n4)6000=1620n9880，令y1y2, 可得1620n988010n2+720n,即n(n+90)998, 由10(10+90)998, 9(9+90)998, 可得n的最小值为10.答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益超过方案甲.,

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