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垂直于弦的直径课件

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常见问题

1、你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？探究用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？驶向胜利的彼岸On圆是轴对称图形驶向胜利的彼岸它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？n圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.O动动脑筋已知：在O中，CD是直径，AB 是弦，CDAB，垂足为E。求证： AEBE，ACBC，ADBD。C .OAEBD叠合法证明：连结OA、OB，则OAOB 。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是 O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE 和BE重合，AC、AD分别和BC、 BD重合。因此AEBE，ACBC，ADBD1.在O中，若CD AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（）2.已知O的直径AB=10，弦

2、CD AB，垂足为M，OM=3，则CD= .3.在O中，CD AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则O的半径是 . OCDABMCA、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM813注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法往往结合勾股定理计算。垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧推论（1）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对和的另一条弧根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论注意判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心( )（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平

3、分.( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）例1 如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到 AB的距离为3厘米，求O的半径。解：连结OA。过O作OEAB，垂足为E，则OE3厘米，AEBE。AB8厘米 AE4厘米在RtAOE中，根据勾股定理有OA5厘米 O的半径为5厘米。.AEBO讲解例：已知：在O中，AC,AB为互相垂直的两条相等的弦，OD AB,OE AC求证：四边形ADOE为正方形。ADBCOE 例1如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点o是的圆心)，其中CD=600m,E为上一点，且OECD ，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半径。CDCDCDCDEF O例2 已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点。求证：ACBD。证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，ACBDE.ACDBO讲解例3 已知：O中弦 ABCD。求证：ACBD证明：作直径MNAB。ABCD， MNCD。则AMBM，CMDM （垂直平

4、分弦的直径平分弦所对的弦）AMCMBMDMACBD .MCD ABON讲解6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。 AECEBEDE即 ACBD. ACDBOE5.在半径为30的O中，弦AB=36 ，则O到AB的距离是= ， OAB的余弦值= 。OABP0.624mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法学生练习已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD求证：ECDF.AOBECDF变式. 已知：如图，线段AB与O交于C 、D两点，且OA=OB 求证：AC=BD BOACD证明圆中与弦有关的线段相等时, 常借助垂径定理,利用其平分弦的性质来解决问题. Mn例2.如图是一条排水管的截面。已知排水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。求水的最大深度. ED 求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题. BAO试一试P931515 驶向胜利的彼岸挑

5、战自我画一画n4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.ABCD0EFGH1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性和垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 2.垂径定理的证明，是通过“实验观察猜想证明 ” 实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法 3.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题课堂小结1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或经过圆心的每一条直线。 2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦弦所对的两条弧。CD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧ACBCD过圆心CDABCDBAO3、在 O中，若 O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：ABCDOR现在大家就来解决赵州桥主桥拱半径的问题如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O, 半径为R。经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交与点C，根据前面的结论，D是AB的中点，C是 AB的中点，CD就是拱高。

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