概率论第一章随机事件及其概率Ch1.3古典概型与几何概型
42页1、高等院校经济管理类专业 经济数学基础系列教材概率论与数理统计第一章 随机事件及其概率 1.1 随机事件 1.2 频率与概率 1.3 古典概型与几何概型 1.4 条件概率与事件的独立性 1.5 全概率公式与贝叶斯公式1.3 古典概型与几何概型 一、古典概型 1. 定义 古典概型是指满足下列两个条件的概率模型: (1)(有限样本空间)随机试验只有有限个可能结果,即基本事件总数为有限个;(2)(等可能性)每一个可能结果发生的可能性相同,即各基本事件发生的概率相同。 用数学语言可表述为: (1)样本空间有限,即 ; (2) 。设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A 为 E 的任 意一个事件,且包含 m 个样本点,则事件 A 出现的概率记 为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义.说明 计算古典概型中事件A的概率,关键是要计算出样本空间中样本点总数和事件A包含的样本点数,这些数目的计算要用到排列组合的知识。 【注】关于排列组合知识的的简要回顾:(1) 加法原理:设完成一件事有k类方法,每类又分别有m1 , m2, mk种方法,而完成这件事只需其中一种方法,则完成这件事
2、共有m1 + m2,+mk种方法(2) 乘法原理: 设完成一件事有n个步骤第一步有m1种方法、第二步有m2种方法,第n步有mn 种方法,则完成这件事共有m1 m2 mn种方法.(3)排列(从n个元素中取m个元素)排列选排列全排列不可重复选排列(不放回)可以重复选排列(有放回)不可重复 (不放回)可以重复 (有放回)(4) 元素的分类将n个元素分为m类,每类分别有k1, k2 , km 个,总共的分类方式有:k1个 元素k2个 元素km个 元素n个元素因为:上式称为多项系数。它是的展开式中 的系数。(5) 环排列 从n个不同元素中,选出m个不同的元素排成一 个圆圈的排列,共有:(6) 组合从n个不同元素中取m个而不考虑其次序的组合共 有 种.4123412311242343每个排列 重复了4 次排列数为常用组合公式:(1)(2)(3)(4)(5)(6)可以利用等式 来证明规定:0!=1,例 证明等式:证1 因为两边求导得令 x=1 得令 x= -1 得证2 因为所以,例 证明等式证总结:从n个球中摸取m个球(1)有放回摸取计序:不计序:(2)不放回摸取计序:不计序:从n个球中有放回不计序
3、地摸取m个球:m个0 1 2 3 4 m-5 m-4 m-3 m-2 m-1+1 1 1 2 2 n-1 n-1 n-1 n n1 2 3 5 6 n+m-6 n+m-5 n+m-4 n+m-2 n+m-1变换为所有摸取方法总数为:从n个数中有放回地(即可以重复或不计序) 取出m个数的一个组合相当于从1到n+m-1个不同 的数中不放回取出m个数的一个组合变换是一一的11 12 13 22 23 33例如:从1,2,3中有放回不计序地摸取2个数,共有 种:+ 01 01 01 01 01 0112 13 14 23 24 34相当于从1, 2, 3, 4中不 放回地取出2个不可重 复的数例1.9 把10本书任意地放在书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率。 解 将10本书放到书架上相当于将10个元素作一次排列,其所有可能的放法相当于10个元素的全排列数10!,由于书是按任意的次序放到书架上去,因此,这10!种排列中出现任意一种的可能性相同,这是古典概型。用A表示事件“指定的三本书放在一起”,则事件包含的样本点数为8!3!,所以 例1.10 把1,2,3,4,5,6共6个数各写在一张纸片
4、上,从中任取三张纸片排成一个三位数。问:(1)所得三位数是偶数的概率是多少? (2)所得三位数不小于200的概率是多少? 解 从6个数中任取三个,可以排列成65 4 =120个三位数,故基本事件总数为120。 (1)设A表示事件“三位数是偶数”,则A包含的基本事件数为35 4 =60, 故 (2)设B表示事件“所得三位数不小于200”,只要百位数取2,3,4,5,6其中之一,所组成的三位数必定不小于200,所以,B包含的基本事件数为55 4 =100 ,故 例1.11 从6个男人和9个女人组成的小组中选出5个人组成一个委员会,假定选取是随机的,问委员会正好由3男2女组成的概率是多少? 解 基本事件总数为 ,事件包含的基本事件数为 , 所求概率为: 例1.12(分房问题) 将n个球随意地放入N个箱子中(Nn),其中每个球都等可能地放入任意一个箱子,求下列事件的概率: (1)指定的n个箱子各放一球;(2)恰好有n个箱子,其中各放一球(或每个箱子最多放入一球);(3)指定的一个箱子不空。 解 将n个球随意地放入N个箱子,共有 Nn 种放法,记(1),(2),(3)的事件分别为A,B,C。 则
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