概率论第一章随机事件及其概率Ch1.3古典概型与几何概型

高等院校经济管理类专业 经济数学基础系列教材概率论与数理统计第一章 随机事件及其概率 §1.1 随机事件 §1.2 频率与概率 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率与事件的独立性 §1.5 全概率公式与贝叶斯公式§1.3 古典概型与几何概型 一、古典概型 1. 定义 古典概型是指满足下列两个条件的概率模型： （1）（有限样本空间）随机试验只有有限个可能结果，即基本事件总数为有限个；（2）（等可能性）每一个可能结果发生的可能性相同，即各基本事件发生的概率相同。 用数学语言可表述为： （1）样本空间有限，即 ； （2） 。设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任 意一个事件，且包含 m 个样本点，则事件 A 出现的概率记 为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义.说明 计算古典概型中事件A的概率，关键是要计算出样本空间中样本点总数和事件A包含的样本点数，这些数目的计算要用到排列组合的知识。 【注】关于排列组合知识的的简要回顾：(1) 加法原理：设完成一件事有k类方法，每类又分别有m1 , m2, mk种方法，而完成这件事只需其中一种方法，则完成这件事共有m1 + m2,+mk种方法(2) 乘法原理： 设完成一件事有n个步骤第一步有m1种方法、第二步有m2种方法，第n步有mn 种方法，则完成这件事共有m1 × m2 × × mn种方法.（3）排列（从n个元素中取m个元素）排列选排列全排列不可重复选排列(不放回)可以重复选排列(有放回)不可重复 (不放回)可以重复 (有放回)(4) 元素的分类将n个元素分为m类，每类分别有k1, k2 , km 个，总共的分类方式有：k1个 元素k2个 元素km个 元素n个元素因为:上式称为多项系数。它是的展开式中 的系数。(5) 环排列 从n个不同元素中，选出m个不同的元素排成一 个圆圈的排列，共有：(6) 组合从n个不同元素中取m个而不考虑其次序的组合共 有 种.4123412311242343每个排列 重复了4 次排列数为常用组合公式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）可以利用等式 来证明规定：0!=1,例 证明等式：证1 因为两边求导得令 x=1 得令 x= -1 得证2 因为所以，例 证明等式证总结：从n个球中摸取m个球（1）有放回摸取计序：不计序：（2）不放回摸取计序：不计序：从n个球中有放回不计序地摸取m个球：m个0 1 2 3 4 m-5 m-4 m-3 m-2 m-1+1 1 1 2 2 n-1 n-1 n-1 n n1 2 3 5 6 n+m-6 n+m-5 n+m-4 n+m-2 n+m-1变换为所有摸取方法总数为：从n个数中有放回地（即可以重复或不计序） 取出m个数的一个组合相当于从1到n+m-1个不同 的数中不放回取出m个数的一个组合变换是一一的11 12 13 22 23 33例如：从1，2，3中有放回不计序地摸取2个数，共有 种：+ 01 01 01 01 01 0112 13 14 23 24 34相当于从1, 2, 3, 4中不 放回地取出2个不可重 复的数例1.9 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。 解 将10本书放到书架上相当于将10个元素作一次排列，其所有可能的放法相当于10个元素的全排列数10！，由于书是按任意的次序放到书架上去，因此，这10！种排列中出现任意一种的可能性相同，这是古典概型。用A表示事件“指定的三本书放在一起”，则事件包含的样本点数为8！3！，所以 例1.10 把1，2，3，4，5，6共6个数各写在一张纸片上，从中任取三张纸片排成一个三位数。问：（1）所得三位数是偶数的概率是多少？ （2）所得三位数不小于200的概率是多少？ 解 从6个数中任取三个，可以排列成6×5 ×4 =120个三位数，故基本事件总数为120。 (1)设A表示事件“三位数是偶数”，则A包含的基本事件数为3×5 ×4 =60, 故 （2）设B表示事件“所得三位数不小于200”，只要百位数取2，3，4，5，6其中之一，所组成的三位数必定不小于200，所以，B包含的基本事件数为5×5 ×4 =100 ，故 例1.11 从6个男人和9个女人组成的小组中选出5个人组成一个委员会，假定选取是随机的，问委员会正好由3男2女组成的概率是多少？ 解 基本事件总数为 ，事件包含的基本事件数为 , 所求概率为： 例1.12（分房问题） 将n个球随意地放入N个箱子中(Nn)，其中每个球都等可能地放入任意一个箱子，求下列事件的概率： （1）指定的n个箱子各放一球；（2）恰好有n个箱子，其中各放一球（或每个箱子最多放入一球）；（3）指定的一个箱子不空。 解 将n个球随意地放入N个箱子，共有 Nn 种放法，记（1），（2），（3）的事件分别为A,B,C。 则例1.13（抽签问题） 箱中有a根红签，b根白签，除颜色外，这些签的其它方面无区别，现有a+b个人依次不放回地去抽签，求第k人抽到红签的概率。 解 用Ak表示事件“第k人抽到红签”，所求概率为 例1.14 15名新生中有3名优秀生，将这15名新生平均分配到三个班级中去，求下列事件的概率：（1）每一个班级各分配到一个优秀生；（2）3名优秀生分配到同一班。 解 记（1），（2）的事件分别为A,B。 （1）将3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共3！种。对于每种分法，其余12名新生平均分配到三个班级中的分法共有种 ，因此事件A包含的基本事件数为 ，所以 （2）将3名优秀生分配在同一班级内的分法共有3种，对于这每一种分法，其余12名新生的分法有 种，由乘法原理知事件B包含的样本点数为 ，故 练习1 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是 等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少有2人生日 相同的概率.64 个人生日各不相同的概率为故64 个人中至少有2人生日相同的概率为解练习2、从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少? 解：A =4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双=4只鞋子中没两只鞋子配成一双练习3 有n个人排队，排成一圈，求甲、乙两人相邻的 概率是多少?解：(2)排成一圈是环排列， n个人的环排列有(n1)!种 ，甲、乙相邻占一个位置的环排列有(n一2)!种，考虑互换性， 有利事件有2× (n一2)!种故： 更为简单的想法是：设想一个圆周上：有n个位置，甲占 了一个位置后，乙还有n一1个位置可选，其中与甲相邻的位置 有2个所以:练习4、某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？这是一个配对问题解：设Ai =第i封信装入第i个信封 i =1,2,3A=没有一封信装对地址直接计算P(A)不易，我们先来计算=至少有一封信装对地址则其中：于是:推广到n封信,用类似的方法可得: 把n 封信随机地装入n个写好地址 的信封中, 没有一封信配对的概率 为:练习5 从自然数列1，2，30中不放回地任取10个数，按大小排列成求事件A=x5=16的概率。解 基本事件总数为 ，事件A发生相当于有4次取到小于16 的数，有5次取到大于16 的数，故有利于A的基本事件数为 ，所求概率为例 k个盒子中各装有n个球，编号为1，2，n，从每个盒子中各取一个球，计算所得到的k个球中最大编号为m的概率（1 mn ）。 分析： 本题所求概率也可叙述为“从装有编号为 1,2,n共n个球的袋中有放回第取k次，计算所得到的k 个球中最大编号为m的概率（1 mn ）”。 解 基本事件总数为 nk ，有利场合数可以这 样考虑：先考虑最大编号不大于 m 的取法，共 有 mk 种。再考虑最大编号不大于 m-1 的取法，共有 (m-1)k 种, 因此最大编为 m 的取法为mk - (m-1)k 则所求概率为思考：若本题是不放回取球，结果又如何？同样的问题：掷 n 颗骰子，得最小的点数为2的概率是多少？(“最小的点数2”-“最小的点数3”).练习6 利用概率模型证明恒等式（1）（2）证（1）构造概率模型：设一袋中有n个球，其中只有1个红球，其余全是黑球，现从袋中无放回地摸出r个球。记事件A=“摸出的r个球中有红球”，则由 可得到等式（1）。（2）构造概率模型：设一袋中有n个球，其中有m个红球，n-m个黑球，现从袋中无放回地摸出r个球。记事件Ai=“摸出的r个球中有i个红球”，则而所以，即二、几何概型定义 当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意 一点落在度量 (长度、 面积、体积) 相同的子区域是等可 能的，则事件 A 的概率可定义为其中， 是事件 A 的度量， 是样本空间的度量。上式所定义的概率通常称为几何概率。 例1.15 (会面问题) 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该 地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两 人能会面的概率.解 以 x, y分别表示甲、乙到达指定 地点的时刻，以A表示事件“两人能会面”， 则样本空间可表示为: 事件A可表示为: 这是一个几何概率问题（如图所示），所求概率为:类似问题： 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停靠两艘轮船的码头停泊，它们等可能地在一昼夜内的任意时刻到达。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不须等候码头空出的概率。 例 从区间(0, 1)中任取两个数，求两数之积小于1/3的概率。 解 以 x, y分别表示任取的两个数，以A 表示事件“两数之积小于1/3”则样本空间可表示为: 事件A可表示为: 思考题： 甲乙两人比赛，采取5局3胜制，胜者可获1000元奖金，当比赛进行到甲2：1领先时，比赛由于某种原因被迫中断，假定甲乙两人的实力相当，问1000元奖金该如何分配？思考题解答: 甲最终获胜的情况有“甲第4局获胜”或者“乙第4局获胜而甲第5局获胜”。所以，甲最终获胜的概率为从而甲应分得1000元奖金中的 即750元。