第二章测量误差和数据处理

1、第二章 测量误差和数据处理1难点重点v正态分布的标准差、近似标准差（贝 塞尔公式）v直接测量的数学表达式v误差的合成v间接测量误差的传递2第一节 测量误差测量误差：测得值与被测量真值之差。特点：具有必然性和普遍性，只能限制在一定范围内，而不能完全消除。人们必须认真对待测量误差，研究减少误差的方法以及对测量结果进行科学处理。3一、误差1、真值指一个物理量在一定条件下所呈现的真实数值。由于理想的量具无法得到，以及测量过程中主、客观因素的影响，真值实际上是无法得到的。2、指定值以法令形式指定的尽可能维持不变实物标准所 体现的量值。43、实际值国家基准所体现的计量单位通过一系列的实物计量标准逐级比较传递到到日常工作仪器或量具上 去，在每一级的比较中，都以上一级标准所体现的 值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫相对 真值。4、标称值测量器具上标定的数值称为标称值。55、示值由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示值，亦称为测得值或测量值，它包括数值 和单位。6、单次测量与多次测量单次测量是用测量仪器对待测量对象进行一次测量的过程。特点：不能反映测量结果的精密度，只能用于测量精度要求不高的场

2、合。6多次测量是用测量仪器对待测量对象进行多次重复测量的过程。特点：可以观察测量结果的精密度，通常要求较高的精密测量都要进行多次测量。7、等精度测量与非等精度测量在保持测量条件不变的情况下对同一被测量对象进行的多次测量过程，称为等精度测量。如在同一被测量对象的多次重复测量过程中，并非所有的测量条件都维持不变，这样的测 量过程称为非等精度测量，也称为不等精度测 量。7二、误差的表示方法1、绝对误差定义式：由于真值一般无法得到，因此常用代替注意：(1)单位，与测得值和实际值相同； (2)符号，表示测量值与实际值的大小。82、相对误差(1) 实际相对误差(2) 示值相对误差(3) 满度相对误差测量仪器量程内最大绝对误差 与测 量仪器满度值(量程上限值) 的百分比。9通过满度误差可以给出仪表各量程内绝对误差的最大值：在我国，大部分仪表的准确度等级S是按満 度误差 分级的，分别有0.1，0.2，0.5，1.0， 1.5，2.5，5级等。如某电表S=0.2，表明它的准确度度等级为 0.2级，它的满度误差不超过0.2级，满度误差不 超过0.2%，即 。10第二节 测量误差的来源测量误差的主要来源：1

3、. 仪器误差仪器误差是由于仪器设计、制造、装配、检定等不完善以及仪器使用过程中元器件老化、磨 损、疲劳等因素造成的误差，也称为设备误差。减少仪器误差的主要途径：正确选择测量方法和使用测量仪器，如检查所使用仪器的出厂合 格证及检定合格证，在额定工作条件下按使用要 求操作等等。112. 人身误差人身误差主要指由于测量者感官的分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等，对实验中的现象与结 果判断不准确从而造成的误差。减少人身误差的主要途径：提高操作技能和工作责任心；采用更合适的测量方法；采用数字 式显示的仪表等等。123. 影响误差影响误差是指由于环境条件与要求条件不一致而造成的误差。如：环境温度、电源电压及电 磁干拢等。减少影响误差的主要途径：尽量使环境条件符合测量要求或求出环境条件对测量的影响值， 并对测量数据进行处理。134. 方法误差方法误差是指所使用的方法不当，或对设备操作使用不当，或测量所依据的理论不严格等原 因而造成的误差，也称为理论误差，通常以系统 误差的形式表现出来。消除方法误差的途径：原则上可以通过理论分析和计算或改变测量方法加以消除或修正。14第三节 误差的分类 按误差的基本性质和

4、特点，可分为： 1. 系统误差在多次等精度测量同一恒定值时，误差的绝对值和符号保持不变，或当条件改变时按某种规 律变化的误差，称为系统误差，简称系差。体现 测量的正确度。系 差恒定系差变值系差：系差的大小、符号保持不变。：系差的大小、符号改变。累进性系差周期性系差复杂规律变化系差：系差递增或递减变化：系差周期性变化按系差的变化情况，又可分为：15系统误差主要特点：具有可重复性，用多次测量取平均值的方法不能改变或消除系差。系统误差产生的主要原因：(1)仪器设计及制作上的缺陷； (2)测量时的环境影响； (3)采用近似的测量方法或计算公式； (4)测量人员的习惯等。162. 随机误差对同一恒定值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号无规则变化的误差，称为随机误差， 也叫偶然误差。体现多次测量的精密度。随机误差的特点： (1)有界性。误差的绝对值波动有一定界限； (2)对称性。正负误差出现的机率几乎相同； (3)抵偿性。随机误差的算术平均值趋于零。 因此，可以通过多次测量取平均值的方法来减少随机误差的影响。17随机误差产生的主要原因：(1)仪器元器件的噪声以及零部件配合的不稳定等； (2)温度

5、及电源电压的无规则波动、电磁干扰等； (3)测量人员感官的无规则变化从而造成读数不稳定 等。18N(t)AxN(t)AxN(t)AxN(t)Ax只有随机 误差累进系统 误差恒定系统误 差周期性系统 误差193. 粗大误差在一定测量条件下，测量值明显偏离实际值所形成的误差称为粗大误差，简称粗差。它不能 反映被测量的真实数值，应当剔除。系统误差产生的主要原因：(1)测量方法不当或错误； (2)测量操作疏忽或失误； (3)测量条件的突然变化等。20第四节 随机误差分析就单次测量而言，随机误差没有 规律，但当测量次数足够多时，则服 从正态分布规律，随机误差的特点为 对称性、有界性、单峰性、抵偿性。f()21问题测量总是存在误差，而且误差究竟等 于多少难以确定，那么，从测量值如何得 到真实值呢？例如，测量室温，6次测量结果分别为 19.2,19.3,19.0,19.0,22.3,19.5, 那么室温究竟是多少呢？ x=A，置信概率为px的真值落在A-， A+区间内的概率为p 。A和如何确定呢？22一测量值的数学期望和标准差1数学期望对被测量x进行等精度n次测量， 得到n个测量值x1，x2，x3，

6、xn。 则n个测得值的算术平均值为：23当测量次数 时，样本平均值的极 限定义为测得值的数学期望。v当测量次数 时，测量值的 数学期望等于被测量的真值。?分析 ：24根据随机误差的抵偿特性，当 时=0，即所以，当测量次数 时，测 量值的数学期望等于被测量的真值 。252剩余误差（残差）当进行有限次测量时，测得值与算 术平均值之差，称为剩余误差。 数学表达式：对上式两边求和得：所以可得剩余误差得代数和为0。264标准差（标准误差，均方根误差）对方差开平方，称为标准差。 反映了测量的精密度，小表示精密度高，测 得值集中，大，表示精密度低，测得值分散。3. 方差时测量值与期望值之差的 平方的统计平均值称为方差。27f()二随机误差的正态分析1正态分布高斯于1809年推导出描述随机误差统 计特性的解析方程式，称高斯分布规 律。随机误差标准差曲线下面的面积对应随机误差在不同 区间出现的概率。28例如： f()29从正态分布曲线可看出：绝对值越小， 越大，说明绝对值小的 误差出现的概率大。大小相等符号相反的误差出现的概率相等。(随机误差的对称性和抵偿性)f()30越小，正态分布曲线越尖锐，越 大，

7、正态分布曲线越平缓。说明反 映了测量的精密度。 =1 =2312极限误差从上式可见，随机误差绝对值大于 3的概率很小，只有0.3%，出现的可能 性很小。因此定义： 为极限误差，也称为最大误差。32随机误差的特点单峰性 误差绝对值越小，出现密度越大， 误差绝对值越大，出现密度越小对称性 绝对值相同，符号相反的误差出现 的概率相等抵偿性 当测量次数n时，误差总和为 零有界性 误差落-3, 3的概率为0.9973 3也称为极限误差或者误差限333贝塞尔公式当测量次数 n时，可以用标准差来表征测量值的分散程度。贝塞尔公式但在实际中，测量次数n为有限值，因此，我们采用残差 代替随机误差 有限次测量标准误差的最佳估计值（近似标准误差）注意344.算术平均值的标准差在有限次测量中，平均值标准差的最佳估 计值(近似平均值标准误差）在相同条件下对同一被测对象分组测量，由于随机误差的存在，各组的算术平均值围绕真值 有一定分散性，即存在随机误差。35三有限次测量下测量结果表达式 步骤： 1）列出测量数据表；2）计算算术平均值 、 、 ； 3）计算 和 ；置信概率0.9973 置信概率0.9545置信概率0.

8、68274）给出最终测量结果表达式：36第五节 系统误差分析N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累进系统误差恒定系统误差周期性系统误差一、分类：恒定系统误差 变化系统误差37二、系统误差的判断1理论分析法，可通过对测量方法的定性分 析发现测量方法或测量原理引入的系统误差 。 2校准和比对法：测量仪器定期进行校准或 检定并在检定书中给出修正值。 3改变测量条件法：根据在不同的测量条件 下测得的数据进行比较，可能发现系统误差 。 4剩余误差观察法：根据测量数据列剩余误 差的大小及符号变化规律可判断有无系统误 差及误差类型，这种方法不能发现定值系统 误差。38三消除系统误差产生的根源要减少系统误差要注意以下几个方面：1采用的测量方法及原理正确。2选用的仪器仪表的类型正确，准确度满 足要求。3测量仪器应定期校准、检定，测量前要 调零，应按照操作规程正确使用仪器。对 于精密测量必要时要采取稳压、恒温、电 磁屏蔽等措施。4条件许可，尽量采用数显仪器。5提高操作人员的操作水平及技能。39四削弱系统误差的方法1零示法:把待测量与标准量相比较，当两者 效应互相抵消时，已知标准量的数值就是被 测量的数值。

9、402替代法（置换法）：在测量条件不变的 情况下，用一标准已知量替代待测量，通 过调整标准量使仪器示值不变，于是标准 量的值等于被测量。这两种方法主要用来消除定值系统误差 。用标准电阻Rs代替Rx413利用修正值或修正因数加以消除。 4随机化处理 5智能仪器中系统误差的消除 （1）直流零位校准。 （2）自动校准。42第六节 误差的合成、间接测量的误 差传递与分配一误差合成由多个不同类型的单项误差求测量中 的总误差是误差合成问题。 1、随机误差合成若测量结果中有k个彼此独立的随机误差，各 个随机误差互不相关，各个随机误差的标准方差分 别为1、2、3、k则随机误差合成的总 标准差为：43若以极限误差表示，则合成的极限误差为 ：当随机误差服从正态分布时，对应的极限 误差。 442、系统误差的合成（1）确定的系统误差的合成又称已定系统误差，是指测量误差的大小、 方向和变化规律是可以掌握的。只要是已定 的系统误差，都应当用代数合成的方法计算 其合成误差。 表达式：由于所得结果是明确大小和方向的数值，故 可直接在测量结果中修正，在一般情况下最 后测量结果不应含有已定系统误差的内容。 45（2）不确定系统误差的合成不确定系统误差又称未定系统误差，指测量 误差既具有系统误差可知的一面，又具有不可预 测的随机误差一面。在通常情况下，未定系统误 差多以极限误差的形式给出误差的最大变化范围 。 绝对值合成法：当m大于10时，合成误差估计值往往偏大。一般应用 于m小于10。表达式：46(2)方和根合成法一般应用于m大于10。表达式：例5：0.5级

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