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二阶矩阵与平面向量综合检测 (2)

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卖家[上传人]：洪易

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常见问题

1、综合检测综合检测(二二)1在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 4x2y21 在矩阵 A对应的2 0 0 1变换下得到曲线 F，求 F 的方程【解】设 P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点 P(x0，y0)在矩阵 A 对应的变换下变为点 P(x0，y0)，则，x0 y0 2 0 0 1x0 y0 2x0 y0即Error!Error!又点 P 在椭圆上，代入得y 1，4x2 042 0即 x2y21.曲线 F 的方程为 x2y21.2若点 A在矩阵 M对应的变换作用下得到点为(22，22)cos sin sin cos B(1,0)，求的值【解】由题意知，cos sin sin cos 22 221 0所以Error!解得Error!从而可知，2k ，(kZ)43已知直线 l 与直线 3x5y60 平行，且过点(5,6)，求矩阵将直1 00 15线 l 变成了什么图形？并写出方程【解】由已知得直线 l 的方程为 3x5y450，设 P(x，y)为 l 上的任意一点，点 P 在矩阵对应的变换下对应点 P(x，y)则，x y1 00 15x yx 15yError!Error!代入

2、 3x5y450，得 3x25y450，直线 l 变换成直线 3x25y450.4求直线 y2x 在矩阵确定的变换作用下得到的图形的表达式1 3 0 1【解】设点(x，y)为直线 y2x 上的任意一点，其在矩阵确定的变换1 3 0 1作用下得到的点为(x，y)，则，即Error!所以x y x y 1 3 0 1x y x3y yError!将其代入 y2x，并整理得 2x7y0，所以直线 y2x 在矩阵确定的变换作用下得到的图形的表达式是 2x7y0. 1 3 0 15切变变换矩阵把直线 xy1 变成什么几何图形？1 1 0 1【解】设 P(x，y)在该变换下的象为 P(x，y)，则，故Error!所以切变变换矩阵把直线x y 1 1 0 1x y xy y 1 y1 1 0 1xy1 变成与 y 轴平行的直线 x1.6若曲线 x24xy2y21 在矩阵 M的作用下变换成曲线1 a b 1x22y21，求 a、b 的值【解】设(x，y)为曲线 x24xy2y21 上的任意一点，其在矩阵 M 的作用下变换成点(x，y)，则(x，y)在曲线 x22y21 上，x y 1 a b 1

3、x y，即Error!将其代入 x22y21，并整理，得(12b2)xay bxyx2(2a4b)xy(a22)y21，比较系数得Error!解得Error!7点(2,2x)在旋转变换矩阵的作用下得到点(y,4)，求 x，y，m，n.12 m 32n【解】因为矩阵是旋转变换矩阵，12 m 32n所以 m，n .3212由题意知，12 32 32122 2x y 4所以Error!解得Error!8二阶矩阵 M 对应的变换 T 将点(1，1)，(2,1)均变为点(1,1)(1)求矩阵 M；(2)直线 l：2x3y10 在变换 T 作用下得到什么图形？说明理由【解】 (1)设 M，则由题设得a b c d，且，a b c d1 1 1 1a b c d2 1 1 1 即Error!解得Error!所以 M.2 3 2 3(2)设 P(x，y)是 l：2x3y10 上任一点 P(x，y)是对应的点，则由，x y 2 3 2 3x y 2x3y 2x3y 得Error!即 2x3yxy.又 2x3y10，所以 xy1.故在 l 在变换 T 作用下变为点(1,1)9求直线 y2x1 绕原点逆时

4、针旋转 45后所得的直线方程【解】 .cos 45 sin 45 sin 45 cos 452222 2222设直线 y2x1 上任意一点为(x0，y0)，其在旋转变换作用下得到点(x0，y0)，则，2222 2222x0 y0 x0 y0即Error!解得Error!因为点(x0，y0)在直线 y2x1 上，所以 2x0y010，所以2(x0y0)(x0y0)10，整理得x0y010.2222223 22所以直线 y2x1 绕原点逆时针旋转 45后所得的直线的方程是x22y10.3 2210如图所示的是一个含有 60角的菱形 ABCD，要使只变换其四个顶点中的两个顶点后，菱形变为正方形，求此变换对应的变换矩阵 M.该变换矩阵惟一吗？若不惟一，写出所有满足条件的变换矩阵【解】由题设知 ACBD1.若只变换 A，C 两个顶点，则应把 A，C 两3个顶点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，于是变换矩阵为 M；若333300 1只变换 B，D 两个顶点，则应把 B，D 两个顶点的纵坐标伸长为原来的倍，横坐3标不变，于是变换矩阵为 M.所以满足条件的变换矩阵 M 为或1 0 0 33300 1.1 0 0 3

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