高等数学同济第六版大纲
42页1、高等数学教案 第一章 函数与极限高等数学课程建设组 1第一章 函数与极限教学目的:1、 理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、 理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。5、 理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、 掌握极限的性质及四则运算法则。7、 了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、 理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。9、 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续) ,会判别函数间断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ,并会应用这些性质。教学重点:1、复合函数及分段函数的概念;2、基本初等函数的性质及其图形;3、极限的概念极限的性质及四则运算法则;4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较;6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连
2、续函数的性质。教学难点:1、分段函数的建立与性质;2、左极限与右极限概念及应用;3、极限存在的两个准则的应用;4、间断点及其分类;5、闭区间上连续函数性质的应用。1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用 A, B, C.等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素 . a 是集合 M 的元素表示为 aM. 高等数学教案 第一章 函数与极限高等数学课程建设组 2集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来 . 例如 Aa, b, c, d, e, f, g. 描述法: 若集合 M 是由元素具有某种性质 P 的元素 x 的全体所组成, 则 M 可表示为Aa1, a2, , an, Mx | x 具有性质 P . 例如 M(x, y)| x, y 为实数, x 2y21. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合 , 称为自然数集. N0, 1, 2, , n, . N1, 2, , n, .R 表示所有实数构成的集合 , 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z, n, , 2, 1, 0, 1,
3、2, , n, . Q 表示所有有理数构成的集合 , 称为有理数集. ,| 互 质与且 qppqN子集: 若 xA, 则必有 xB, 则称 A 是 B 的子集, 记为 AB(读作 A 包含于 B)或 BA . 如果集合 A 与集合 B 互为子集, AB 且 BA, 则称集合 A 与集合 B 相等, 记作 AB. 若 AB 且 AB, 则称 A 是 B 的真子集, 记作 A B . 例如, N Z Q R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作 . 规定空集是任何集合的子集 . 2. 集合的运算设 A、B 是两个集合, 由所有属于 A 或者属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集(简称并), 记作 AB, 即ABx|xA 或 xB. 设 A、B 是两个集合, 由所有既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集(简称交), 记作 AB, 即ABx|xA 且 xB. 设 A、B 是两个集合, 由所有属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的差集(简称差), 记作 AB, 即ABx|xA 且 xB. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合 I 中
4、进行, 所研究的其他集合 A 都是 I 的子集. 此时, 我们称集合 I 为全集或基本集 . 称 IA 为 A 的 余集或补集, 记作 AC. 集合运算的法则: 设 A、B 、C 为任意三个集合, 则(1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); 高等数学教案 第一章 函数与极限高等数学课程建设组 3(4)对偶律 (AB)CAC BC, (AB)CAC BC. (AB)CAC BC 的证明: x(AB)CxABxA 且 xBxA C 且 xBC xAC BC, 所以(A B)CAC BC. 直积(笛卡儿乘积): 设 A、B 是任意两个集合, 在集合 A 中任意取一个元素 x, 在集合 B 中任意取一个元素 y, 组成一个有序对(x , y), 把这样的有序对作为新元素 , 它们全体组成的集合称为集合A 与集合 B 的直积, 记为 AB, 即AB(x, y)|xA 且 yB. 例如, RR( x, y)| xR 且 yR 即为 xOy 面上全体点的集合, RR 常
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