自考第3章4调和函数
11页1,3.4 解析函数与调和函数的关系,复习,二元函数,有两个,有四个,如果,则,P26定理2.2,P50定理3.11,即若,解析,,则,解析,,此时,可微、,也可微、,一阶偏导数:,二阶偏导数:,二阶偏导数,连续,,在区域D内,解析,与,在D内可微,,且满足,条件:,解析函数,一定是,的导数,解析函数,连续.,连续.,2,定义3.3,如果,在区域D内,偏导数,且满足,则称,为区域D内,如果,与,都是D内,则称,为,的共轭,定理3.18,定理,与,在区域D内,设,且,为,则,是D内,定义3.4,且满足,条件:,具有二阶连续,的调和函数,的调和函数,,调和函数,,的共轭,调和函数,,的解析函数.,若,在区域D内,可微,,解析,,则,为,的共轭,调和函数,,二元函数,Laplace方程,3,证明,设,是区域D内,则(1),也是D内,在D内,(2),的一阶偏导数,因此,以此类推,的二阶偏导数,(3),是D内,同理,也是D内,是实部,的共轭,而且虚部,都可微、,连续,的解析函数,的解析函数,的调和函数,,的调和函数,,调和函数。,都连续,都连续,4,59页17,设,是D内,证明,是D内,证明,因为,是D内,所以(1),的二阶偏导数,可微,,(2) 由,得到,由,得到,是D内,同样可证:,若,是D内,则,是D内,的调和函数,,的调和函数,,的调和函数,,的解析函数。,的解析函数。,的解析函数。,连续,,5,例2,证明:,一对共轭,也是调和函数,证:,设,为,的共轭,则,是区域D内,是区域D内,是调和函数,,是调和函数.,例3,设,是区域D内,证明:,也是解析函数,,证:,由,解析得到,可微,,且,因此,可微,,且,解析,是,的共轭,的解析函数,在区域D内,的解析函数,的解析函数,调和函数,调和函数,的乘积,调和函数,,6,例4,设,求p的值,使,为调和函数,,并求出解析函数,解,7,例5,求证,为调和函数,,求出解析函数,证明,为调和函数,,8,例6,设,为调和函数,,求出解析函数,解,9,例7,设,为调和函数,,求出解析函数,解,10,例8,设,为调和函数,,求出解析函数,解,11,作业,59页习题3,16.,17.,18.(1),
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