2012中考数学压轴题 函数梯形问题(二)
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1、2012中考数学压轴题函数梯形问题(二)例3 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y ，点C的坐标为(4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上 (1) 写出点M的坐标； (2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围； 当梯形CMQP的两底的长度之比为12时，求t的值图1动感体验请打开几何画板文件名“10杭州24”，拖动点Q在抛物线上运动，从t随x变化的图像可以看到，t是x的二次函数，抛物线的开口向下还可以感受到，PQCM12只有一种情况，此时Q在y轴上；CMPQ12有两种情况思路点拨1第（1）题求点M的坐标以后，RtOCM的两条直角边的比为12，这是本题的基本背景图2第（2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于t与x的比例式，从而得到t关于x的函数关系 3探求自变量x的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况4梯形的两底的长度之比为12，要分两种情况讨论把两底的长度比转化为QH与MO的长度比满分
2、解答(1)因为ABOC 4，A、B关于y轴对称，所以点A的横坐标为2将x2代入y，得y2所以点M的坐标为（0，2）(2) 如图2，过点Q作QH x轴，设垂足为H，则HQy，HPx t 因为CM/PQ，所以QPHMCO因此tanQPHtanMCO，即所以整理，得如图3，当P与C重合时，解方程，得如图4，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x 2因此自变量x的取值范围是，且x 2的所有实数 图2 图3 图4因为sinQPHsinMCO，所以，即当时，解方程，得（如图5）此时当时，解方程，得如图6，当时，；如图6，当时， 图5 图6 图7考点伸展本题情境下，以Q为圆心、QM为半径的动圆与x轴有怎样的位置关系呢？设点Q的坐标为，那么而点Q到x轴的距离为因此圆Q的半径QM等于圆心Q到x轴的距离，圆Q与x轴相切例 4 已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D(1)求点D的坐标；(2)抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符
3、合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“10奉贤24”，分别双击按钮“MO/AD”、“MA/OD”和“MD/OA”，可以体验到，在“MO/AD”和“MA/OD”两种情况下，根据两直线平行，内错角相等，可以判定直角三角形相似；在“MD/OA”情况下，根据对称性可以直接得到点M的坐标思路点拨1用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便2过AOD的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形3用抛物线的解析式可以表示点M的坐标满分解答(1)因为BC/x轴，点D在BC上，C(0,2)，所以点D的纵坐标为2把y2代入，求得x3所以点D的坐标为(3,2)(2)由于抛物线与x轴交于点O、A(4,0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入D (3,2)，得所求的二次函数解析式为(3) 设点M的坐标为如图2，当OM/DA时，作MNx轴，DQx轴，垂足分别为N、Q由tanMONtanDAQ，得因为x0时点M与O重合，因此，解得x7此时点M的坐标为（7，14）如图3，当AM/OD时，由tanMANtanDOQ，得因为x4时点M与A重合，因此，解得x1此时点M的坐标为如图4，当DM/OA时，点M与点D关于抛物线的对称轴对称，此时点M的坐标为（1，2） 图2 图3 图4考点伸展第（3）题的、用几何法进行计算，依据是两直线平行，内错角的正切相等如果用代数法进行，计算过程比较麻烦以为例，先求出直线AD的解析式，再求出直线OM的解析式，最后解由直线OM和抛物线的解析式组成的二元二次方程组1用心 爱心 专心
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