中考数学专题特训第十四讲：二次函数的同象和性质(含详细参考答案)

2013年中考数学专题复习第十四讲 二次函数的同象和性质【基础知识回顾】一、 二次函数的定义：一、 一般地如果y= （a、b、c是常数a0）那么y叫做x的二次函数【赵老师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列 2、强调二次项系数a 0】二、二次函数的同象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c(a0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式 2、在抛物y=kx 2+bx+c(a0)中：1、当a>0时，y口向 ，当x<-时，y随x的增大而 ，当x 时，y随x的增大而增大，2、当a<0时，开口向 当x<-时，y随x增大而增大，当x 时，y随x增大而减小【赵老师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax2 ,对称轴 定点坐标 2、y= ax2 +k，对称轴 定点坐标 3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标 4、y=a(x-h) 2 +k对称轴 定点坐标 】三、二次函数同象的平移【赵老师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 a越大，开口越 b:对称轴位置，与a联系一起，用 判断b=0时，对称轴是 c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点【赵老师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】【重点考点例析】 考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2012常州）已知二次函数y=a（x-2）2+c（a0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）Ay3y2y1 By1y2y3 Cy2y1y3 Dy3y1y2 思路分析：根据抛物线的性质，开口向上的抛物线，其上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，x取0时所对应的点离对称轴最远，x取时所对应的点离对称轴最近，即可得到答案解：二次函数y=a（x-2）2+c（a0），该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，x取0时所对应的点离对称轴最远，x取时所对应的点离对称轴最近，y3y2y1故选B点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大 对应训练1（2012衢州）已知二次函数y=x2-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0x1x2x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）Ay1y2y3 By1y2y3 Cy2y3y1 Dy2y3y1 2A2解：二次函数y=x2-7x+，此函数的对称轴为：x=，0x1x2x3，三点都在对称轴右侧，a0，对称轴右侧y随x的增大而减小，y1y2y3故选：A考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：它的图象与x轴有两个公共点；如果当x1时y随x的增大而减小，则m=1；如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3其中正确的说法是 （把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点思路分析：根据函数与方程的关系解答；找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；将m=-1代入解析式，求出和x轴的交点坐标，即可判断；根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m=2012代入解析式即可解：=4m2-4（-3）=4m2+120，它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；当x1时y随x的增大而减小，函数的对称轴x=-1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），则1，即m1，故本选项错误；将m=-1代入解析式，得y=x2+2x-3，当y=0时，得x2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x1=1，x2=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，对称轴为x=1006，则=1006，m=1006，原函数可化为y=x2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-20122012-3=-3，故本选项正确故答案为（多填、少填或错填均不给分）点评：本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点对应训练2（2012河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C则以下结论：无论x取何值，y2的值总是正数；a=1；当x=0时，y2-y1=4；2AB=3AC；其中正确结论是（）A B C D 1解：抛物线y2=（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a= ，故本小题错误；由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3过原点，当x=0时，y2=（0-3）2+1=，故y2-y1=，故本小题错误；物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，B（-5，3），C（5，3）AB=6，AC=4，2AB=3AC，故本小题正确故选D 考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例3 （2012玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：c1；2a+b=0；b24ac；若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（）A B C D思路分析：由抛物线与y轴的交点在1的上方，得到c大于1，故选项错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到关于a与b的关系，整理得到2a+b=0，选项正确；由抛物线与x轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项错误；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2，选项正确，即可得到正确的选项解：由抛物线与y轴的交点位置得到：c1，选项错误；抛物线的对称轴为x=1，2a+b=0，选项正确；由抛物线与x轴有两个交点，得到b2-4ac0，即b24ac，选项错误；令抛物线解析式中y=0，得到ax2+bx+c=0，方程的两根为x1，x2，且=1，及=2，x1+x2=2，选项正确，综上，正确的结论有故选C点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）对应训练3（2012重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示对称轴为x=下列结论中，正确的是（）Aabc0 Ba+b=0 C2b+c0 D4a+c2b 3D3解：A、开口向上，a0，与y轴交与负半轴，c0，对称轴在y轴左侧，0，b0，abc0，故本选项错误；B、对称轴：x=，a=b，故本选项错误；C、当x=1时，a+b+c=2b+c0，故本选项错误；D、对称轴为x=，与x轴的一个交点的取值范围为x11，与x轴的另一个交点的取值范围为x2-2，当x=-2时，4a-2b+c0，即4a+c2b，故本选项正确故选D考点四：抛物线的平移例4 （2012桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）Ay=（x+1）2-1 By=（x+1）2+1 Cy=（x-1）2+1 Dy=（x-1）2-1 思路分析：首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m）再根据AO=，利用勾股定理求出m的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式解：A在直线y=x上，设A（m，m），OA= ，m2+m2=（）2，解得：m=1（m=-1舍去），m=1，A（1，1），抛物线解析式为：y=（x-1）2+1，故选：C点评：此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减对应训练4（2012南京）已知下列函数y=x2；y=-x2；y=（x-1）2+2其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有 （填写所有正确选项的序号）44解：原式可化为：y=（x+1）2-4，由函数图象平移的法则可知，将函数y=x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y=（x+1）2-4，的图象，故正确；函数y=（x+1）2-4的图象开口向上，函数y=-x2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故错误；将y=（x-1）2+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）2-4的图象，故正确故答案为：【聚焦山东中考】1（2012泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第二、三、四象限 D第一、三、四象限 1C1解：抛物线的顶点在第四象限，-m0，n0，m0，一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，故选C2（2012济南）如图，二次函数的图象经过（