高等数学下期末考试试卷A

1、大学数学 高等数学 A-2 试题（A ）卷（闭） 学年第 二 学期使用班级级 学院班级学号姓名 题号一二三四五六七八总分 得分 一、填空题（本题4 小题，每空3 分，满分12 分，把正确答案填在题后的横线上） 1、交换积分次序_),(),( 2 3 0 3 10 1 0 2 x x dyyxfdxdyyxfdx。 2、 xy ez sin ，则_dz。 3、设 2222 :RzyxS，则_ 2ds x S 。 4、设某二阶常系数齐次线性微分方程以 xx eCeCy 3 21 为通解，则该二阶常系数齐次线性微 分方程为_。 二、选择题（本题共3 小题，每小题3 分，满分9 分，每小题给出四个选项，把正确答案填在题 后的括号内） 1、设常数0k，则级数 2 1 )1( n nk n n )(A绝对收敛；)(B条件收敛；)(C发散；)(D敛散性与k的取值有关。 2、函数 22 22 22 ,0 , 0,0 xy xy xyfx y xy 在原点)0,0(处 )(A连续，偏导数存在；)(B连续，但偏导数不存在； )(C不连续，但偏导数存在；)(D不连续，偏导数也不存在。 3、设 2222 :R

2、zyxV，则dvzyx V 222 为 3 2 )( 4 R A； 4 )(RB； 3 4 )( 4 R C； 4 2)(RD。 三、计算（每小题6 分，共 30 分） 大学数学 1、设)()( 1 yxygxyf x z，其中gf ,具有二阶连续的导数，求 yx z 2 。 2、计算 D dxdyyyxI)2( 22 ，其中D是由圆xyx2 22 围成的平面区域。 3、求 L xx dyyyedxxyye)cos()sin(，其中L为圆周 2 2xaxy上从点)0,2( aA 到点)0, 0(O的一段弧。 大学数学 4、求曲面3xyze z 在点)0, 1 ,2(处的切平面及法线方程。 5、求幂级数 n n x n n 1 2 1 的收敛域与和函数。 四、解答下列各题（本题共4 小题，每小题每题6 分，共 24 分） 1、设函数),(yxzz由0),( x z y y z xF确定，求 x z 。 大学数学 2、求函数 2 e y zx在点 P(1,0)处沿从点P(1,0)到点(2, 1)Q的方向的方向导数。 3、设)(xyy满足方程 x eyyy223，且其图形在点) 1,0(与曲

3、线1 2 xxy相 切，求函数)(xy。 4、将函数) 11()(xxxf展开成以 2 为周期的傅立叶级数。 大学数学 五、 （本题满分8 分）求函数 22 1216zxyxy在区域 22 25xy上的最大值与最小值。 六、 （本题满分9 分）已知曲线积分dyxydxxe L x )()(2与路径无关，且 0)0(。 （1）求)(x；（2）计算dyxydxxe x )()(2 )1 ,1( )0, 0( 的值。 七、（本题满分8 分）计算 222 2 )( zyx dxdyazaxdydz ， 其中为下半球面 222 yxaz 的下侧，a为大于零的常数。 大学数学 高等数学（下）期末试卷（A） 参考答案 一、填空题： 1、 y y dxyxfdy 231 0 ),(； 2、)(cos sin xdyydxxye xy ； 3、 3 4 4 R ； 4、032yyy。 二、选择题： 1、B； 2、C； 3、B 三、计算： 1、解： )()()( 1 2 yxgyxyf x y xyf xx z （3分） )()()( 2 yxgyyxgxyfy yx z 。（ 3 分） 2、解： 根据对

4、称性， DD dyxdyyx)()2( 2222 ，（ 2 分） 作极坐标变换 sin cos ry rx ，则 cos20, 22 r，（2 分） 原式 4 2 0 4 2 2 4 cos2 0 3 2 2 8cos8cos4Idddrrd 2 3 22 1 4 3 8。（2 分） 3、解： 添加直线段OAL : 1 ，则 原式dyyyedxxyye xx LLL )cos()sin)( 11 （4 分） 22 2 0 2 2 aaxdxdxdy a D 。（2 分） 4、 解： 3),(xyzezyxF z , 则 1, z zyx eFxFyF， (2,1,0) , ,11,2,0 z ny x e，（4 分） 所以所求切平面为(2)2(1)0,240 xyxy即。（1 分） 所求的法线方程为 0 0 2 1 1 2zyx 。（1 分） 5、解： 因为,1|lim 1 n n n a a 所以幂级数的收敛半径为1R， 大学数学 又因为当1x时级数发散，所以该幂级数的收敛域为)1 , 1(-。（2 分） dxxdxxnxx n xnx n n x n n x n n n n n n

5、 n n 0 1 1 0 1 1111 2 11 ) 11(),1ln( )1(1 1 1 2 0 xx x x dx xx x x x 。（4 分） 四、解答下列各题： 1、解： 设),(),( x z y y z xFzyx x F y F x z FF zx 11 ),( 21 2 21 ，（3 分） 故 21 2 21 2 xyFFx yzFyFx x z z x 。（3 分） 2、解： 2|,1, 1PQPQ，（1 分） 2 1 , 2 1 sin,cosl，(2 分) 2 e y z x ， 2 2 e y z x y ，（2 分） 11 cossin 22 zzzzz lxyxy 222 111 e2 e(12 )e 222 yyy xx 函数 2 e y zx在点 P(1,0)处沿从点 P(1,0)到点(2,1)Q的方向的方向导数为 2 (1,0) 12 (12 )e 22 y x（2 分） 3、解： 由条件知)(xyy满足1)0(,1)0(yy。（1 分） 由特征方程2, 1023 21 2 rrrr, 大学数学 对应齐次方程的通解 xx eCeCy 2 21 。（2

6、 分） 设特解为 x Axey * ，代入方程，得,2A，则特解为 x xey2 * 从而得通解 xxx xeeCeCy2 2 21 , （2 分） 代入初始条件得0, 1 21 CC， 则 x exxy)21()(。（ 1 分） 4、解： 所给函数在1 , 1上满足收敛定理条件，将其延拓成以2 为周期的函数时，它在整个 实轴上均连续，因此其付立叶级数在 1 ,1内收敛于函数本身。 12 1 0 0 xdxa， 22 1 0 1) 1(2 cos2 n xdxnxa n n ， ),2 ,1(0 nbn。 （4 分） ) 11(cos 1) 1(2 2 1 )( 1 22 xxn n xf n n 。（2 分） 五、解： 由 0162 0122 yz xz y x ，得驻点)8,6(，但该驻点不在区域25 22 yx内，所以最值只能在 25 22 yx达到。（3 分） 设)25(1612 2222 yxyxyxF， 由 025 02162 02122 22 yx yyF xxF y x ，得)4,3(),4 , 3(),(yx，（3 分） 代入目标函数，比较得最小值125,75 )4,3()4, 3( zz最大值。（2 分） 六、解： 由， x Q y P 得,)(2)( x exfxf 大学数学 则, 3 1 )( 2 22 xx dx x dx eCeCdxeeexf 因为0)0(f，所以 3 1 C， 则).( 3 1 )( 2xx eexf （5 分） 故 1 0 2 1 0 )1 ,1( )0,0( )( 3 1 0)()(2dyeedxdyxfydxxfe x )( 3 12 ee. （4 分） 七、解： 取 xoy为 xoy面上的圆盘 222 ayx，方向取上侧，则 dxdyazaxdydz a zyx dxdyazaxdydz2 222 2 )( 1)( xoyxoy dxdyazaxdydzdxdyazaxdydz a 22 )()( 1 ，（ 4分） xy D dxdyadvaz a 2 )32( 1 223 0 2 2 2 0 3 2 3sincos2 1 aaaadrrdd a a 34 4 4 0 3 2 2 1 2 1 sincos4 1 aa a a adrrd a a 。（4 分）

《高等数学下期末考试试卷A》由会员花****分享，可在线阅读，更多相关《高等数学下期末考试试卷A》请在金锄头文库上搜索。