线性代数-工程版(同济大学第六版)

1、线 性 代 数Linear Algebra,主讲：黄月梅,一、研究对象 线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题，即线性空间、线性变换和有限维的线性方程组。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。,基础介绍,二、历史与发展 线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代东汉年初成书的数学著作九章算术方程章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。,由于法国数学家费马（1601-1665）和笛卡儿（1596-1650）的工作，现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限

2、于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。,随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，在1819世纪期间先后产生行列式和矩阵的概念，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。, 17世纪，德国数学家-莱布尼兹 历史上最早使用行列式概念。, 1750年，瑞士数学家-克莱姆（克莱姆法则） 用行列式解线性方程组的重要方法。, 1772年，法国数学家-范德蒙 对行列式做出连贯的逻辑阐述，行列 式的理论脱离开线性方程组。,三、有重要贡献的数学家,英国数学家-西勒维斯特(1814-1897) 首次提出矩阵的概念(矩型阵式),英国数学家-凯莱(1821-1895) 矩阵论的创立,德国数学家-高斯（1777-1855） 提出行列式的某些思想和方法, 1841年，法国数学家-柯西 首先创立了现代的行列式概念和符号。,向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。,在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，意大利数学家皮亚诺（1858-19

3、32）以公理的方式定义了有限维或无限维线性空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体（domain）上的最一般的向量空间中。,“代数”这个词在中文中出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰（ 1811-1882 ）才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用。,学术地位及应用 线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。,随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。,线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多

4、分支，同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。,“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，通常把非线性模型近似为线性模型，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。因此，线性代数在工程技术、科学研究以及经济、管理等许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容。,线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。 非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。,什么是线性关系？,线性代数,研究对象： 线性空间、线性变换和有限维的线性方程组。,研究工具： 行列式、矩阵与向量。,线性代数（第六版）,第一章 行列式,第二章 矩阵及其运算,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,第四章 向量组的线性相关性,第五章 相似矩阵及二次型,第六章 线性空间与线性变换(选学),在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等

5、.,我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.,行列式是线性代数的一种工具！ 学习行列式主要就是要能计算行列式的值.,第一章 行列式（Determinant）,内容提要 1 二阶与三阶行列式 2 全排列与对换 3 n 阶行列式的定义 4 行列式的性质 5 行列式按行（列）展开,行列式的概念.,行列式的性质及计算.,1 二阶与三阶行列式( Determinent of order two or three),我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.,一、二元线性方程组与二阶行列式,二元线性方程组,由消元法，得,当 时，该方程组有唯一解,1. 二阶行列式的定义,求解公式为,二元线性方程组,请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.,二元线性方程组,我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.,记号,数表,定义1 表达式 称为由该数表所确定的二阶行列式(determinant oforder two)，即,其中， 称为元素（e

6、lement）.,i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.,原则：横行竖列,2. 二阶行列式的计算,主对角线,副对角线,即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积,对角线法则,根据定义 x1,x2 的分子也可以写成行列式形式如下：,二元线性方程组,若令,(方程组的系数行列式),则上述二元线性方程组的解可表示为,例1,求解二元线性方程组,解,因为,所以,二、三阶行列式,1. 定义 设有9个数排成3行3列的数表,原则：横行竖列,引进记号,称为三阶行列式.,主对角线,副对角线,二阶行列式的对角线法则并不适用！,2. 三阶行列式的计算,对角线法则/三角形法则,注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.,实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.,三角形法,例2 计算行列式,解,按对角线法则，有,解：,例3 计算三阶行列式,方程左端,解,由 得,例4 求解方程,例5 求解方程组,解： 令,课堂练习,计算下列行列式,小结,一、二阶、三阶行列式的概念,二、二阶、三阶行列式的计算方法,1. 二阶行列式对角线法则/三角形法则,2. 三阶行列式,对角线法

7、则/三角形法则,注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.,实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.,三角形法,作业,P21：1 (1)(4) 、2 (2)(6),2 全排列与对换 (Permutation and Transposition),引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,所求六个三位数为 123，132，213，231，312，321,问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？,定义1 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列(all permutation). n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.,显然,即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.,所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前. 因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.,3个不同的元素一共有3! =6种不同的排

8、法,123，132，213，231，312，321,对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.,定义2 一个排列中某两个元素的先后次序与标 准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序 （inverse sequence）.,例如 在排列32514中，,3 2 5 1 4,思考题：还能找到其它逆序吗？,答：2和1，3和1也构成逆序.,定义 3 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序 数.( inverse number ),排列 的逆序数通常记为 .,奇排列：逆序数为奇数的排列.,偶排列：逆序数为偶数的排列.,思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？,答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.,计算排列的逆序数的方法,则此排列的逆序数为,设 是 1, 2, , n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ； 再看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ; 最后看有多少个比 大的数排在 前面，记为 ;,例1,求排列 32514 的逆序数.,解：,例2,求下列排

9、列 的逆序数,并说明奇偶性.,解：,2),1) 453162,解：,奇排列,偶排列,练习： 讨论1，2, 3所有全排列的奇偶性.,解：,t(132)= 1，,123，132，213，231，312，321,t(123)= 0，,t(213)= 1，,t(231)= 2，,t(312)= 2，,t(321)= 3，,故,123， 231，312 为偶排列，,132， 213，321 为奇排列.,定义3 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换,将相邻两个元素对换，叫做相邻对换,例如,二、对换,2、对换与排列奇偶性的关系,定理1对换改变排列的奇偶性.,推论,奇排列变成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.,例如 312 为偶排列， 321 为奇排列.,213 为奇排列.,定理2 n 个元素的所有全排列中奇排列与偶排列数各占一半,即各有 个.,证：设n 个元素的所有全排列中共有t个奇排 列和s个偶排列.奇排列经一次对换都变成偶排列，,例如 1,2,3的所有排列中恰有3个偶排列 和3个奇排列.,于是t s.同理得 s t，故 s = t.,又因为s+t= n!，所以s = t= .,3 n 阶行列式的定义,一、概念的引入,规律： 三阶行列式共有6项，即3!项 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积 每一项可以写成 （正负号除外），其中 是1、2、3的某个排列. 当 是偶排列时，对应的项取正号； 当 是奇排列时，对应的项取负号.,所以，三阶行列式可以写成,其中 表示对1、2、3的所有排列求和.,二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.,二、n 阶行列式的定义,简记作 ，其中t =t( p1p2 .pn ), 为行列式D 的 (i, j)元.,定义1 设有 个数排成 n 行 n 列的数表,和式,称为由上数表所确定的n阶行列式，,n 阶行列式共有 n! 项 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积 每一项

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