历年高考数学真题精选32 二面角

1、历年高考数学真题精选（按考点分类）专题32 二面角（学生版）1（2019新课标）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值2（2019新课标）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿，折起使得与重合，连结，如图2（1）证明：图2中的，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大小3（2019天津）如图，平面，（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值为，求线段的长4（2019北京）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，点在上，且（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由5（2019新课标）如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，的中点（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值6（2018新课标）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值7（2018新课标）如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值8（2017山东）如图，几

2、何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点（）设是上的一点，且，求的大小；（）当，时，求二面角的大小9（2017新课标）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，是的中点（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值10（2017新课标）如图，在四棱锥中，且（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值11（2017新课标）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值12（2016浙江）如图，在三棱台中，已知平面平面，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值13（2016新课标）如图，菱形的对角线与交于点，点，分别在，上，交于于点，将沿折到的位置，（）证明：平面；（）求二面角的正弦值14（2016新课标）如图，在以，为顶点的五面体中，面为正方形，且二面角与二面角都是（）证明平面平面；（）求二面角的余弦值历年高考数学真题精选（按考点分类）专题32 二面角（教师版）1（2019新课标）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，（1

3、）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值证明：（1）长方体中，平面，平面解：（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，平面，则，1，1，1，0，0，面，故取平面的法向量为，0，设平面 的法向量，由，得，取，得，二面角的正弦值为2（2019新课标）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿，折起使得与重合，连结，如图2（1）证明：图2中的，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大小证明：（1）由已知得，确定一个平面，四点共面，由已知得，面，平面，平面平面解：（2）作，垂足为，平面，平面平面，平面，由已知，菱形的边长为2，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系，则，1，0，0， ，0，设平面的法向量，则，取，得，6，又平面的法向量为，1，二面角的大小为3（2019天津）如图，平面，（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值为，求线段的长（）证明：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，可得，0，0，2，1，0，设，则，2，则是平面的法向量，又，可得又直线平面，平面；（）解：依题意，设为平面的法向量

4、，则，令，得直线与平面所成角的正弦值为；（）解：设为平面的法向量，则，取，可得，由题意，解得经检验，符合题意线段的长为4（2019北京）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，点在上，且（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由证明：（）平面，平面解：（）以为原点，在平面内过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，1，0，1，平面的法向量，0，设平面的法向量，则，取，得，1，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为（）直线在平面内，理由如下：点在上，且，平面的法向量，1，故直线在平面内5（2019新课标）如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，的中点（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值（1）证明：如图，过作，则，且，又，四边形为平行四边形，则，由，为中点，得为中点，而为中点，则四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；（2）解：以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，1，设平面的一个法向量为，由，取，得，又平面的一个法向量为，二面角的正弦值为6（2018新课标）如图，边长为2的正方形所在的平面

5、与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值解：（1）证明：在半圆中，正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，平面，则，平面，平面，平面平面（2）的面积为定值，要使三棱锥体积最大，则三棱锥的高最大，此时为圆弧的中点，建立以为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形的边长为2，1，0，则平面的法向量，0，设平面的法向量为，则，2，1，由，令，则，即，0，则，则面与面所成二面角的正弦值7（2018新课标）如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值（1）证明：连接，是的中点，且，又，则，则，平面；（2）建立以坐标原点，分别为，轴的空间直角坐标系如图：，0，2，0，2，设，则，则平面的法向量为，0，设平面的法向量为，则，则，令，则，即，二面角为，即，解得或（舍，则平面的法向量，2，与平面所成角的正弦值，8（2017山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点（）设是上的一点，且，求的大小；（）当，时，求二面角的大小解：（）

6、，且，平面，平面，又平面，又，因此；（）解法一、取的中点，连接，四边形为菱形，取中点，连接，则，为所求二面角的平面角又，在中，由于，由余弦定理得：，因此为等边三角形，故所求的角为解法二、以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系由题意得：，0，0，故，设为平面的一个法向量，由，得，取，得；设为平面的一个法向量，由，可得，取，得二面角的大小为9（2017新课标）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，是的中点（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值（1）证明：取的中点，连接，因为是的中点，所以，是平行四边形，可得，平面，平面，直线平面；（2）解：四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，是的中点取的中点，在底面上的射影在上，设，则，直线与底面所成角为，可得：，可得：，作于，连接，所以就是二面角的平面角，二面角的余弦值为：10（2017新课标）如图，在四棱锥中，且（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值（1）证明：，又，且平面，平面，平面，又平面，平面平面；（2）解：，四边形为平行四边形，由（1）知平面，则四边形为矩形，在中，由，

7、可得为等腰直角三角形，设，则取中点，中点，连接、，以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，则：，0，设平面的一个法向量为，由，得，取，得平面，平面，又，平面，则为平面的一个法向量，由图可知，二面角为钝角，二面角的余弦值为11（2017新课标）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值（1）证明：如图所示，取的中点，连接，是等边三角形，与中，是直角三角形，是斜边，又，平面又平面，平面平面（2）解：设点，到平面的距离分别为，则平面把四面体分成体积相等的两部分，点是的中点建立如图所示的空间直角坐标系不妨取则，0，0，0，0，0，0，设平面的法向量为，则，即，取同理可得：平面的法向量为，1，二面角的余弦值为12（2016浙江）如图，在三棱台中，已知平面平面，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值证明：延长，相交于点，如图所示，平面平面，平面，又，为等边三角形，且为的中点，则，平面方法一：过点作，连接，平面，则平面，是二面角的平面角在中，可得在中，可得：二面角的平面角的余弦值为方法二：如图，延长，相交于点，则为等边三角形，取的中点，则，又平面平面，平面，以点为原点，分别以，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系可得：，0，0，0，3，3，设平面的法向量为，平面的法向量为，由，可得，取由，可得，取二面角的余弦值为13（2016新课标）如图，菱形的对角线与交于点，点，分别在，上，交于于点，将沿折到的位置，（）证明：平面；（）求二面角的正弦值（）证明：是菱形，又，则，

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