二次型的正定性及其应用
21页1、毕业论文 题 目: 二次型的正定性及其应用 学生: 云云 学生学号: 0805010236 系 别: 数学与计算科学系 专 业: 数学与应用数学 届 别: 2012 届 指导教师: 远华 目 录摘 要(1)前言(1)1 二次型的概念(2)1.1 二次型的矩阵形式(2)1.2 正定二次型与正定矩阵的概念(2)2 二次型的正定性一些判别方法及其性质(3)3 二次型的应用(8)3.1 多元函数极值(8)3.2 线性最小二乘法(12)3.3 证明不等式(14)3.4 二次曲线(16)结论(17)致(17)参考文献(17) 二次型的正定性及其应用学生:云云指导老师:远华师学院数学与计算科学系摘 要:二次型与其矩阵具有一一对应关系,本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正(负)定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式,由矩阵的特征值求多元函数的最值,再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。 关键词:二次型;矩阵;正定性;应用The second type of positive definite matrix and its applicationsSt
2、udent: Sun YunYunInstructor: Li YuanHuaDepartment of mathematics and Computational Science, Huainan Normal UniversityAbstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme
3、 value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves. Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation,Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation,Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中,有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到,而且在物理学中也会经常用到,其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的
4、正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别,因此,对正定矩阵的讨论有重要的意义.1 二次型的概念 定义1.1 设P是一个数域,p,n个文字, 的二次齐次多项式称为数域p上的一个n元二次型,简称二次型.当为实数时,f称为实二次型.当 为复数时,称 f为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项,即=称f为标准型.1.1 二次型的矩阵形式 二次型可唯一表示成=,其中,为对称矩阵,称上式为二次型的矩阵形式,称A为二次型的矩阵(必是对称矩阵),称A的秩为二次型f的秩.1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 定义1.2 设=是n元实二次型(A为实对称矩阵),如果对任意不全为零的实数都有,则称f为正定二次型,称A为正定矩阵;如果,则称f为半正定二次型,称A为半正定矩阵;如果,则称f为负定二次型,称A为负定矩阵;如果,称f 为半负定二次型,称A为半负定矩阵;既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型,称A为不定矩阵. 定义1.2 另一种定义 具有对称矩阵的二次型(1) 如果对任何非零向量, 都有 (或)成立,则称为正定(负定)二次型,矩阵称为正定矩阵(负定矩阵).(2) 如果对任何非零向量, 都有 (或)
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