信号与线性系统题解阎鸿森第四章
49页1、信号与线性系统题解 阎鸿森 第四章 习题答案4.1 由于复指数函数是LTI系统的特征函数,因此傅里叶分析法在连续时间LTI系统分析中具有重要价值。在正文已经指出:尽管某些LTI系统可能有另外的特征函数,但复指数函数是唯一能够成为一切LTI系统特征函数的信号。在本题中,我们将验证这一结论。(a) 对单位冲激响应的LTI系统,指出其特征函数,并确定相应的特征值。(b) 如果一个LTI系统的单位冲激响应为,找出一个信号,该信号不具有的形式,但却是该系统的特征函数,且特征值为1。再找出另外两个特征函数,它们的特征值分别为1/2和2,但不是复指数函数。 提示:可以找出满足这些要求的冲激串。(c) 如果一个稳定的LTI系统的冲激响应是实、偶函数,证明和实该系统的特征函数。(d) 对冲激响应为的LTI系统,假如是它的特征函数,其特征值为,确定应满足的微分方程,并解出。 此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。解:(a) 的LTI系统是恒等系统,所以任何函数都是它的特征函数,其特征值为1。 (b) ,。如果是系统的特征函数,且特征值为1,则应有。满足这一要求的冲激序列为。 若要找出特征值为1/2或2
2、的这种特征函数,则可得: , 特征值为1/2。 , 特征值为2。 (c) 为实、偶函数 同理可证。 (d) 于是 4.2 求下列信号的傅里叶级数表示式。(a) (b) 是以2为周期的信号,且(c) 如图P4.2(a)所示。 (d) 如图P4.2(b)所示。(e) 如图P4.2(c)所示。 (f) 如图P4.2(d)所示。 图P4.2解:(a) ,取,则有 (b) , 则 (c) ,是奇函数, (d) ,可求得 (e) ,是偶函数, (f) ,可求得 4.3 已知某LTI系统的单位冲激响应为 对下列输入信号,求输出响应的傅里叶级数表示式。(a)(b)(c)(d) 如图P4.3所示。 图P4.3解:设则其中分别是和的傅里叶级数系数。 (a) 其余 ,其余 (b) ; (c) ; (d) 由图P4.3所示可得: 4.4 (a) 证明:以T为周期的信号如果是偶函数,即,则其三角函数形式的傅里叶级数表示式中只含有余弦分量;如果是奇信号,即,则其三角函数形式的傅里叶级数中只含有正弦分量。(b) 如果以T为周期的信号同时满足 则称为偶谐信号;如果同时满足 则称为奇谐信号。证明偶谐信号的傅里叶级数中只
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