《两角差的余弦公式》课案设计.docx

1、两角差的余弦公式课案设计一、教学目标 （1）通过引例让学生经历问题提出过程，激发学生探索数学规律的积极性。（2）理解两角差的余弦公式及推导过程，并能进行简单的三角恒等变换。（3）通过公式的探究，培养学生分析问题、解决问题的能力。二、教学重点与难点重点：两角差的余弦公式的探究过程及公式的运用。难点：探索过程的组织和引导，两角差余弦公式的探究思路的发现。三、教学准备教师：将教科书中的引例及图3.1-1，图3.1-2，图3.1-3，例1，例2做成投影片，有条件的可利用多媒体，图3.1-2做成动画形式。学生：直尺、圆规等。四、教学导图创设情景，以实例引入课题 明确探究目标及途径组织学生自主探索例题与练习小结与作业。五、教学设计1. 展示实例课本章头图3.1-1给出的问题，创设情景，引入课题。设计意图：由给出的情境素材，使学生感受到实际问题中对研究两角和（差）公式的需要。师生活动：教师运用投影片或多媒体出示实例。组织学生使，问题数学化。学生实例的关键是如何由sin=，求tan a=（45）的值。教师可先引导学生用方程的思想分析求解该问题。进而启发学生如何用所学的三角学知识进行分析解决。师生将问题

2、一般化，抽象概括出带有一般性的数学问题：探求单角与和角的三角函数值之间的关系，即对任意角、如何用、的三角函数值把+或-的三角函数值表示出来？为此，本节学习两角差的余弦公式这一具有奠基性的问题，从而引出本节课题。2. 你认为= 正确吗？设计意图：人们由于受思维定势的影响，往往以为此“分配律”成立，通过特意设置这个思考问题，让学生深刻认识到这一“习惯性”的结论的不正确性，从而树立不能想当然、要理性思维的良好观念，并认识到要探索的公式在“恒等”方面要求的意义。师生活动：教师提出上述问题，引导学生分析认识到，要验证一个等式是否成立，可以先通过特例进行初步验证，有一个特例不成立，就可断言结论不成立;若找不到反例，则可试着去证明它是成立的。学生尝试检验，取一些特殊角进行验证，例如=60，=30，判断出该“式”不是“恒”成立的。教师那么，如何用单角、的正弦、余弦值正确表示cos（-）呢？通过这个问题引起悬念，激起探索欲望。3. 运用三角函数定义探索cos（-）的表达式设计意图：通过提出用三角函数定义推导公式，学生会考虑单位圆上如何做出角、-的三角函数线，教师利用投影或多媒体，积极引导学生经历“作角找

3、线找等量关系”的探索过程。师生活动：教师数学上讲究从特殊到一般，从简单到复杂，对此问题，我们也不妨先从、-三个角都为锐角的情形开始研究。我们可以借用的工具是什么呢？回到基础，从定义开始。学生在单位圆，作出角、的终边，从而做出角-的余弦线OM，如图3.1-1。教师现在，问题可转化为什么样的问题？只需要探究出来什么就可以了呢？学生学生基本能够指出，问题转化为：如何用角、的正弦线、余弦线来表示OM？教师带领学生利用几何直观寻找OM的表达式，从而得出表达式。教师进一步指出，刚才的推导是在都为锐角这个特殊情况下进行的，所得结果是否任意角、都成立？教师可以用多媒体进行演示，让学生通过演示观察猜测结论。肯定结论之后，具体推广过程请同学们课下完成。4. 能否利用向量的方法探究cos（-）公式？设计意图：通过多角度分析，培养学生的自主探究能力。使学生对向量的坐标表示，向量的数量积有进一步的理解。同时，培养学生严谨的数学品质。师生活动：教师上面通过回归定义，我们推导出了两角差的余弦公式，还有其他办法吗？学生在平面直角坐标系xOy中作单位圆，以Ox为始边作角，如图3.1-2，从而能写出交点A，B的坐标，由数

4、量积坐标公式推导出cos（-）。尝试推导过程。教师引导学生分析整个推导过程，是否有不严谨之处？师生根据向量数量积的概念，角-必须符合条件0-，若-是任意角，则-也是任意角。事实上，-=2k+，或2k-（kZ）.cos（-）=cos=O?O对于，对于任意角、都有cos（-）。=cos cos+sinsin。5. 归纳公式的结构特点设计意图：使学生进一步熟悉公式，了解公式的结构特征，以便运用公式解决一些问题或推导其他公式。师生活动：师生共同分析公式结构特点：任意角，同名积，符号反。教师此公式称为差角的余弦公式，简记为C（-）。6. 自学例1，并解决思考题设计意图：初步体验公式用法，增加对公式的理解，培养学生的自学能力。师生活动：学生求解过程独立完成。教师通过本例及思考题，点评公式的正用和逆用，角的拆分的多样性，诱导公式的运用。并安排如下两个变式练习，来强化公式的记忆和理解。变式练习：求值：（1）cos53cos23+sin53sin23;（2）cos（+）cos+sin（+）sin。7. 自学例2，并完成P127练习第24题设计意图：进一步理解公式，掌握运用公式应该注意的问题，明确思维的有

5、序性和表达的条理性是三角变换的基本要求。师生活动：学生认真审题，求解问题，注意步骤。教师对学生表述的步骤，是否规范作出必要的点评和要求。递进思考：将例2的条件（，）改为（0，），如何求cos（-）的值。训练学生的分类讨论的思想，提高表达能力。8. 练习：以知、为锐角，cos=，cos（+）=，求cos的值设计意图：培养学生灵活运用公式的能力，初步体会角的配凑技巧在三角问题解决中的作用。师生活动：教师引导学生比较公式，注意角与，+之间的关系。学生独立思考，不难得出=（+）-教师提问学生说出思路，最后进行解法点评。本题特点：需要构造角，需要研究角的范围。9. 反思与升华 总结两角差的余弦公式的探索及证明思路; 应用公式求值时应注意问题是什么？ 总结本节课所涉及的数学思想和办法。设计意图：通过总结，使学生对本节课有一个全面的认识，提高学生的数学思维能力，培养学生强烈的求知欲望。师生活动：师生探究公式的方法：有简单到复杂，由浅入深;由特殊到一般，抓主要问题探索;进行反思，予以修正完善。六、作业设计作业：教课书P137习题3.1 A组第24题。备选练习：1. 若cos+cos=cos=0，sin+sin+sin=0，求cos（-）的值。解：cos+cos=-cos sin+sin=-sin +得：2+2+cos（+）=- 如何用cos（-）的表达式来探究（）的其他三角函数？七、教材设计说明（1）本设计首先通过章头图实际问题的引入，让学生感受到研究和差公式的必要，这样设计能够引起学生兴趣，引发矛盾冲突，同时明确了探究目标。（2）本设计重点放在公式的推导上，分三个层次：一是直觉猜想，特殊验证;二是通过、为锐角（）的特殊情况进行探究;三是对一般情形进行探究。这样设计符合认知规律，使学生感受到学习过程是不断猜想、不断修正、从特殊到一般的思维过程。通过探究和证明不但培养了学生逻辑推理能力，而且培养了合情推理能力及创新能力，以及优秀的数学思维品质，体现了探究中“大胆猜想、小心求证”的教学思想，使数学的学习过程由冰冷的美丽化为火热的思考。（3）关于例题与练习的处理，主要考虑到知识的基础性和方法的简单性，本设计安排为自学、自练方式，这样对学生养成良好的习惯有益。最后通过反思与升华，把学生的思考推向了更广阔的空间。（：湖南省衡南县第一中学）

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