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数形结合思想应用.doc

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卖家[上传人]：caoka****i123

文档编号：127323180

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1、数形结合思想重难点归纳应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合典型题例示范讲解例1设A=x2xa，B=yy=2x+3，且xA，C=zz=x2，且xA ，若CB，求实数a的取值范围命题意图本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目知识依托解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将CB用不等式这一数学语言加以转化错解分析考生在确定z=x2，x2,a的值域是易出错，不能分类而论巧妙观察图象将是上策不能漏掉a2这一种特殊情形技巧与方法解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决解 y=2x+3在2, a上是增函数1y2a+3，即B=y1y2

2、a+3作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下当2a0时，a2z4即C=za2z4要使CB,必须且只须2a+34得a与2a0矛盾当0a2时，0z4即C=z0z4，要使CB，由图可知必须且只需解得a2当a2时，0za2，即C=z0za2，要使CB必须且只需解得2a3当a2时，A=此时B=C=，则CB成立综上所述，a的取值范围是(,2),3 例2已知acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k, kZ)求证命题意图本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力知识依托解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上错解分析考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二技巧与方法善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题证明:在平面直角坐标系中，点A（cos,sin）与点B（cos,sin）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图从而 AB2=(coscos)2+(sinsin)2

3、=22cos()又单位圆的圆心到直线l的距离由平面几何知识知OA2(AB)2=d2即例3曲线y=1+ (2x2)与直线y=r(x2)+4有两个交点时，实数r的取值范围解析方程y=1+的曲线为半圆，y=r(x2)+4为过（2，4）的直线答案（例4设f(x)=x22ax+2,当x1,+)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解法一由f(x)a，在1,+)上恒成立x22ax+2a0在1,+)上恒成立考查函数g(x)=x22ax+2a的图象在1,+时位于x轴上方如图两种情况不等式的成立条件是 (1)=4a24(2a)0a(2,1)(2)a(3,2，综上所述a(3,1) 解法二由f(x)ax2+2a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，3，故直线l对应的a(3,1) 学生巩固练习 1 方程sin(x)=x的实数解的个数是( )A 2 B 3 C 4 D 以上均不对2 已知f(x)=(xa)(xb)2（其中ab，且、是方程f(x)=0的两根

4、（，则实数a、b、的大小关系为( )A ab B abC ab D ab3(4cos+32t)2+(3sin1+2t)2，(、t为参数)的最大值是 4 已知集合A=x5x,B=xx2axxa，当AB时，则a的取值范围是 5 设关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0,）内有相异解、（1）求a的取值范围；（2）求tan(+)的值 6 设A=(x,y)y=,a0，B=(x,y)(x1)2+(y)2=a2,a0,且AB，求a的最大值与最小值 7 已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点求PF1+PA的最大值和最小值 8 把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？参考答案 1 解析在同一坐标系内作出y1=sin(x)与y2=x的图象如图答案 B2 解析 a,b是方程g(x)=(xa)(xb)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示答案 A3 解析联想到距离公式，两点坐标为A(4cos,3sin),B(2t3,12t)点A的几何图形是椭圆，点B表示

5、直线考虑用点到直线的距离公式求解答案 4 解析解得A=xx9或x3，B=x(xa)(x1)0，画数轴可得答案 a35 解作出y=sin(x+)(x(0,)及y=的图象，知当1且时，曲线与直线有两个交点，故a(2,)(,2) 把sin+cos=a,sin+cos=a相减得tan，故tan(+)=3 6 解集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O(1,)为圆心，a为半径的圆如图所示 AB，半圆O和圆O有公共点显然当半圆O和圆O外切时，a最小a+a=OO=2,amin=22当半圆O与圆O内切时，半圆O的半径最大，即a最大此时aa=OO=2,amax=2+2 7 解由可知a=3,b=,c=2，左焦点F1(2,0),右焦点F2(2,0) 由椭圆定义，PF1=2aPF2=6PF2,PF1+PA=6PF2+PA=6+PAPF2如图由PAPF2AF2=知PAPF2 当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号即PAPF2的最大、最小值分别为，于是PF1+PA的最大值是6+,最小值是6 8 解本题实际上是求正方形窗口边长最小值由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小如图设AE=x,BE=y,则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y 课前后备注

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