2024年新高考艺体生冲刺复习考点07 三角函数的性质(解析版)
49页1、考点07 三角函数的性质一正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xk,kZ值域1,11,1R函数的最值最大值1,当且仅当x2k最小值1,当且仅当x2k最大值1,当且仅当x2k,最小值1,当且仅当x2k,无最大值和最小值单调性增区间k2,k2(kZ);减区间k2,k2(kZ)增区间k2,k2(kZ);减区间k2,k2(kZ)增区间(k,k)(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2k,k0,kZ,最小正周期为2周期为2k,k0,kZ,最小正周期为2周期为k,k0,kZ,最小正周期为对称性对称中心(k,0),kZ,kZ,kZ对称轴xk,kZxk,kZ无对称轴零点k,kZk,kZk,kZ二用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1.在正弦函数ysin x,x0,2的图象中,五个关键点是:(0,0),(,0),(2,0)2.在余弦函数ycos x,x0,2的图象中,五个关键点是:(0,1),(,1),(2,1)3.用五点法画yAsin(x)(A0,0,xR)一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示:xx02yAsin(x)0A0A0三函数y
2、sin x的图象经变换得到yAsin(x)(A0,0)的图象的两种途径1.两种途径:纵坐标保持不变,横坐标的变化(1)先伸缩()后平移()(2)先平移()后伸缩()2.伸缩平移的规律3.左右平移时应注意的三点(1)平移方向:弄清楚平移方向,平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象(2)函数名称:注意平移前后两个函数的名称一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数(3)由yAsin x的图象得到yAsin(x)的图象时,需平移的单位数应为而不是|,即平移时x前的系数必须为1四解题思路总结解决三角函数性质的有关问题时,要化为yAsin(x)的形式,但最大值、最小值与A的符号有关,例子如下 函数yAsin(x)(A0,0)的性质,采用都是“整体代入”1.奇偶性:k(kZ)时,函数yAsin(x)为奇函数;k(kZ)时,函数yAsin(x)为偶函数(影响奇偶性的是,依据为诱导公式奇变偶不变符号看象限)2.周期性:(1)定义法,即利用周期函数的定义求解.(2)公式法,对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A,是常数,A0,0)的函数,T.(3)观察法,即通过观察函数图象求其周期.3单调性:根
3、据ysin t和tx(0)的单调性来研究,由2kx2k(kZ)得单调增区间;由2kx2k(kZ)得单调减区间(影响单调性主要是A和,两者同号求增代增,异号求增代减,依据为复合函数的“同增异减”)4对称性:利用ysin x的对称中心为(k,0)(kZ)求解,令xk(kZ)得其对称中心利用ysin x的对称轴为xk(kZ)求解,令xk(kZ)得其对称轴考点一 五点画图法【例1-1】(2023河南省)用五点法作出函数在一个周期内的图象【答案】答案见解析【解析】列表如下描点连线,可得函数图象如下:【变式】1(2023全国随堂练习)画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图,并用信息技术检验:(1);(2);(3)(4)【答案】简图见详解【解析】(1)(2)(3)(4)2.(2023课时练习)当时,作出下列函数的图象,把这些图象与的图象进行比较,你能发现图象变换的什么规律?(1);(2);(3).【答案】答案见解析【解析】(1)该图象与的图象关于轴对称,故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象.(2)将的图象在轴上方部分保持不变,下半部分作关于轴对称的图形,即可得到的图象.(3)将的图象在轴
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