2024年新高考艺体生冲刺复习考点11 等差数列（解析版）

1、考点11 等差数列一 等差数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)二等差数列的有关公式1.通项公式：ana1(n1)d 通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)2.前n项和公式：Snna1d三等差中项1.等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2.等差中项推广四 等差数列前n项和的性质1.前n项和与等差中项2.前n项和片段性：Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列4.当项数为偶数2n时，S偶S奇nd；项数为奇数2n1时，S奇S偶a中，S奇S偶n(n1)五求等差数列前n项和Sn最值的两种方法1.函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解2.邻项变号法：（1）当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；（2）当a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm. 3.等差数列的增减性与最值（1）公差d0时为递增数列，且当a10时，前n项和Sn有最小值；（2）公差d0时，前

2、n项和Sn有最大值六判定数列an是等差数列的常用方法1.定义法：对任意nN*，an1an是同一个常数选下标-列定义式-换一项-化简-写结论2.等差中项法：对任意n2，nN*，满足2anan1an1.3.通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数4.前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0. 考点一 等差数列基本量的运算【例1】（2023广东潮州）等差数列的公差为，数列的前项和为(1)已知，求及；(2)已知，求；(3)已知，求.(4)若，求；(5)若，求；(6)若，求n(7)若，求；(8)若，求；(9)若，求n【答案】(1)(2)(3)(4)2700(5)(6)(7)2(8)1596(9)11【解析】（1）因为，所以整理得，解得或（负值舍去），所以（2）因为，所以，又因为，所以（3）方法一：由，即，所以方法二：由，得，所以（4）因为，根据公式，可得（5）因为，所以根据公式，可得（6）把，代入，得整理，得解得，或（舍去）所以（7）由题意知数列为等差数列，设公差为d，故，解得；（8）数列为等差数列，设公差为d，故，解得，则；（9）由题意知数列为等差数列，设公差为d

3、，则，解得，由，得，解得或（舍去），故.【变式】（2023北京）已知数列是等差数列(1)若，求；(2)若，求；(3)若，求n(4)若，求；(5)若，求；(6)若，求n【答案】(1)2700(2)(3)(4)2(5)1596(6)11【解析】（1）因为，根据公式，可得（2）因为，所以根据公式，可得（3）把，代入，得整理，得解得，或（舍去）所以（4）由题意知数列为等差数列，设公差为d，故，解得；（5）数列为等差数列，设公差为d，故，解得，则；（6）由题意知数列为等差数列，设公差为d，则，解得，由，得，解得或（舍去），故.考点二 等差中项【例2-1】（2023黑龙江哈尔滨）已知，则、的等差中项为（）ABCD【答案】B【解析】、的等差中项为.故选：B.【例2-2】（2023福建）在等差数列中，则（）A5B6C8D9【答案】A【解析】由是等差数列，则是和的等差中项，所以，则，.故选：A【例2-3】（2023湖南长沙）已知为等差数列，且是方程的两根，则等于（）ABC2D4【答案】C【解析】由是方程的两根，可得，又由数列为等差数列，可得，所以.故选：C.【例2-4】（2023湖南）在等差数列中，则（

4、）ABCD【答案】A【解析】因为数列为等差数列，因为，得，所以，所以，故A项正确.故选:A.【变式】1（2023山东青岛）已知在等差数列中，则（）A4B6C8D10【答案】C【解析】由等差数列中，因为，可得，所以，又由，且，可得.故选：C.2（2023新疆）若，成等差数列，则 的值为（）A1B2C3D4【答案】C【解析】因为，成等差数列，所以根据等差中项的定义得，解得，故选：C.3（2023四川成都）在等差数列中，则的值为（）A20B40C60D80【答案】A【解析】在等差数列中，因为，所以，所以.故选：A4（2023云南曲靖）在等差数列中，则（）ABCD【答案】D【解析】等差数列中，则，则故选：D考点三 前n项和与等差中项【例3-1】（2023全国模拟预测）已知是等差数列的前n项和，则（）A22B33C40D44【答案】B【解析】解法一： 因为是等差数列，所以，则，所以.解法二： 设等差数列的公差为d，则由得，得，所以.故选：B.【例3-2】（2023河北张家口）等差数列中的前项和分别为，则（）ABCD【答案】B【解析】等差数列中的前项和分别为，故选：B【例3-3】（2023广东）已

5、知等差数列和的前n项和分别为，若，则（）ABCD【答案】C【解析】由等差数列的性质可得：，则，即，故选：C.【变式】1（2023陕西咸阳）设等差数列，的前项和分别为，都有，则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为等差数列，的前项和分别为，且，所以.故选：D.2（2023安徽蚌埠）两个等差数列，的前项和分别为，且，则（）ABCD【答案】C【解析】由两个等差数列，的前项和分别为，且，根据等差数列的求和公式，可得.故选：C.3（2023湖北荆州）等差数列、的前项和分别为与，且，则（）ABCD【答案】B【解析】由等差数列性质得，等差数列前n项和满足，则，等差数列前n项和满足，则，所以.故选：B.4（2023黑龙江鹤岗）已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（）ABCD【答案】B【解析】，令，则，所以，所以，故选：B考点四 前n项和片段性【例4-1】（2023甘肃武威）等差数列中，则（）A12B18C24D30【答案】B【解析】等差数列中，成等差数列，所以即.故选：B【例4-2】（2023江苏）已知等差数列的前项和为40，前项和为420，则前项和为（）A140B180C220D380

6、【答案】B【解析】设等差数列的前项和为，则成等差数列，所以，又所以，解得.所以等差数列的前项和为.故选：B.【例4-3】（2023甘肃金昌）设等差数列的前n项和为，若，则（）ABCD【答案】A【解析】在等差数列中，成等差数列，即，设，则，于是，解得，所以故选：A【变式】1（2023湖南长沙）已知为等差数列的前项和，若，则（）A26B27C28D29【答案】B【解析】由题意得成等差数列，又，解得.故选：B.2（2023四川乐山统考一模）设等差数列的前项和，若，则（）A18B27C45D63【答案】C【解析】由题意得成等差数列，即成等差数列，即，解得.故选：C3（2023湖北省）已知为等差数列，若，则=（）A73B120C121D122【答案】B【解析】设等差数列的公差为，则，所以.故选：B考点五 前n项和与n的比值【例5-1】（2023上四川眉山高三校考开学考试）在等差数列中， ，其前项和为，若，则（）A2 023B-2 023C-2 024D2 024【答案】C【解析】由是等差数列，设公差为，则所以，（常数），则也为等差数列.由，则数列的公差为1.所以所以，所以故选：C【例5-2】（2

7、023河南）已知等差数列的前项和为，且，则（）ABCD【答案】D【解析】设等差数列的公差为，则，数列是公差为的等差数列，解得：，.故选：D.【变式】1（2023全国高三专题练习）已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12018，则S2020等于（）A4040B2020C2020D4040【答案】C【解析】Sn是等差数列an的前n项和，数列是等差数列a12018，数列的公差d，首项为2018，2018+201911，S20202020故选：C2（2023湖北武汉）在等差数列中，其前n项和为，若，则等于（）A10B100C110D120【答案】B【解析】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为，则，则，又因为，所以，所以，所以.故选：B.3（2023北京）在等差数列中，其前项和为，若，则等于（）ABCD【答案】B【解析】数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，又，解得：，又，.故选：B.4（2023湖北）已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12018，则S2020等于（）A4040B2020C2020D4040【答案】C【解析】Sn是等差数列an的前n项和，数列是等差数列a12018，数列的公差d，首项为2018，2018+201911，S20202020故选：C考点六 等差数列的奇数项或偶数项之和【例6-1】（2023河南周口）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）AB2CD【答案】D【解析】设等差数列的公差为，则由条件可知：数列的奇数项之和为，偶数项之和为，由-，得，所以，即该数列的公差为.故选：D.【例6-2】（2023重庆统考二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，则（）ABCD【答案】B【解析】设等差数列的公差为，首项为，则，所以，因为，即，则，等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，所以.

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