2024年新高考艺体生冲刺复习考点19 排列组合（解析版）

1、考点19 排列组合一两个计数原理1.分类加法计数原理（1）概念：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法（2）特征每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事各类方法之间是互斥的、并列的、独立的2.分步乘法计数原理（1）概念：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法（2）特征每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏3.分类加法和分步乘法计数原理区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.4.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类(3)弄清分步、分类的标准是什么(4

2、)分类要做到不重不漏二排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数公式An(n1)(n2)(nm1)C性质An！，0！1CC，CCC三 排列、组合常见类型及解题思路（一）常用方法1.特殊优先2.相邻捆绑法3.不相邻插空法4.定序倍缩法5.对于分堆与分配问题应注意三点处理分配问题要注意先分堆再分配.被分配的元素是不同的.分堆时要注意是否均匀.6.相同元素隔板法7.圆形排列问题：n个不同的事物围成一个圆时总的围成方法有(n1)！种解决圆形排列问题时最关键的就是插空思想，即将某个部分插入另外几个部分形成的空隙中考点一 排列组合数的计算【例1】（2023江西）化简计算（1）；（2）（3） （4）【答案】（1）； （2）126（3）或（4）8【解析】（1）；（2）由组合数的定义知：，解得，又，或.当时；当时.所以的值为或.（3）先由组合数运算性质得到: ，根据运算公式得到：.（4）因为，所以，所以，所以，又，所以，所以不等式的解集为【变式】1（2024河北）（多选）下列式子正确的是

3、（）ABCD【答案】ABC【解析】由组合数性质可得，故A正确；由组合数性质可知，故B正确；，故，故C正确；，所以，故D错误，故选：ABC2（2024背景）已知自然数满足，则（）A2B3C4D5【答案】C【解析】因为，所以，由是自然数且，整理得，解得（舍）或，所以故选：C4.（2023上江西抚州）（1）求值:；（2） 解不等式:.（3）解关于x的不等式（4）求等式中的n值【答案】（1）；（2）.（3）；（4）.【解析】（1）因为，所以，原式；（2）因为，所以，化简可得，解得，所以不等式解集为.（4）由，得，于是，整理得，解得，所以.（5）原方程变形为，即，显然，因此，化简整理，得，而，解得，所以.考点二 排列【例2-1】（2024全国高三专题练习）3名女生和5名男生排成一排(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法?(2)如果女生都不相邻，有多少种排法?(3)如果女生不站两端，有多少种排法?(4)其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种排法?(5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法?【答案】(1)4320(2)14400(3)14400(4)20160(5)30960【解析】（1

4、）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法，而其中每一种排法中，3个女生间又有种排法，因此共有（种）不同排法（2）（插空法）先排5个男生，有种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法，因此共有（种）不同排法（3）解法一（位置分析法）因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有种排法，剩余的位置没有特殊要求，有种排法，因此共有（种）不同排法解法二（元素分析法）在中间6个位置选3个安排女生，有种排法，其余位置无限制，有种排法，因此共有（种）不同排法（4）（定序问题几率法）8名学生的所有排列共种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，所以符合要求的排法种数为（种）（5）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置解法一（特殊元素法）甲在最右边时，其他的可全排，有种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有种，而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有种，其余人全排列，共有种由分类加法计数原理，共有（种）解法二（特殊位置法）先排最左边，除去甲外，有种，余下7个位置全排，有种，但应剔除乙在最右

5、边时的排法种，因此共有（种）解法三（间接法）8个人全排，共种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有种，乙在最右边时，有种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有种因此共有（种）【例2-2】（2023北京）用0、1、2、3、4五个数字(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？(5)组成没有重复数字的五位数，将这些数字由小到大排列，42130是第几个数？【答案】(1)2500(2)96(3)20(4)36(5)88【解析】(1)各个数位上数字允许重复，首位上不能为0，故采用分步乘法计数原理，有个(2)考虑特殊位置“万位”，从1、2、3、4中任选一个填入万位，共有4种填法，其余四个位置，4个数字全排列，故共有个(3)构成3的倍数的三位数，其各个位上数字之和是3的倍数，则由和，以及组成三位数，由和组成的三位数有个，由以及组成三位数有个，故共有个；(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有种填法，包含0在内

6、还有3个数在中间三个位置上全排列，排列数为，故共有个(5)本小问的本质就是不大于42130的数有多少按分类加法计数原理，当万位数字为1、2、3时均满足，共有三个数，当万位数字为4，千位数为0、1时均满足，共有个数，当万位数字为4，千位数字为2，而百位数字为0和1时均满足，共有个，所以42130是第个数【变式】1.（2023广东潮州）用0，1，2，3，4五个数字(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数(5)可以排成多少个不重复的能被2整除的五位数？(6)可以排成多少个四位数？(7)可以排成多少个四位数字的电话号码？【答案】(1)(2)(3)(4)(5)60个(6)500个(7)625个【解析】（1）用0、1、2、3、4五个数字组成五位数,相当于从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在千位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在百位，有种情况，从0、1、2、3、4五个数字中抽取一个放在十位，有种情况，从0、1

7、、2、3、4五个数字中抽取一个放在个位，有种情况，所以可组成个五位数.（2）用0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位数,相当于先从1、2、3、4四个数字中抽取一个放在万位，有种情况，再把剩下的三个数字和0全排列，有种情况，所以可组成个无重复数字的五位数.（3）无重复数字的3的倍数的三位数组成它的三个数字之和必须是3的倍数，所以三个数字必须是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，若三个数字是0、1、2，则0不能放在百位，从1和2两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有种情况；若三个数字是0、2、4，则0不能放在百位，从2和4两个数字中抽取一个放在百位，有种情况，再把剩下的一个数字和0全排列，有种情况；若三个数字是1、2、3，则相当于对这三个数字全排列，有种情况;若三个数字是2、3、4，则相当于对这三个数字全排列，有种情况.所以根据分类计数原理，共可组成 个无重复数字的且是3的倍数的三位数.（4）由数字0、1、2、3、4五个数字组成无重复数字的五位奇数，则放在个位的数字只能是奇数，所以放在个位数字只能是1或3，所以相当于先从1、3两个数字中抽

8、取一个放在个位，有种情况，再从剩下的四个数字中除去0抽取一个放在万位，有种情况，再对剩下的三个数字全排列，有种情况，所以可组成个无重复数字的五位奇数.（5）由题，能被2整除的数为偶数，则个位数字应在0，2，4中选择，需用5个数字组成不重复的五位数，则万位不是0，所以当个位是0时，共有个；当个位不是0时，共有个，所以不重复的且能被2整除的五位数有个.（6）要组成一个四位数，则千位不为0，所以共有个.（7）要组成一个四位数字的电话号码，则共有个.2（2023湖北）名同学，其中名男同学，名女同学：（1）站成一排，共有多少种不同的排法？（2）站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？（3）站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？（4）站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（5）站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多少种不同的排法？（6）站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（7）站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？（8）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？（9）站

9、成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起.（10）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（11）站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？（12）站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？（13）站成一排，名男同学都不能相邻，名女同学也不能相邻的排法共有多少种？（14）站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种？（15）名同学座圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有多少种？【答案】（1）5040；（2）5040；（3）144；（4）720；（5）720；（6）240；（7）2400；（8）1440；（9）288；（10）960；（11）3600；（12）1440；（13）144；（14）2520；（15）720.【解析】（1）问题可以看作个元素的全排列，故有种排列方法.（2）根据分步计数原理，共有种排列方法.（3）根据分步计数原理，共有种排列方法.（4）首先先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列，共有种排列方法.（5）首先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列，共有种排列方法.（6）第一步甲、乙站在两端有

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