概率论第六章习题解答
7页1、概率论第六章习题解答1、在总体 2(52,6.3 )N 中随机抽取一容量为 36 的样本,求样本均值 X 落在 50.8 与 53.8 之间的概率。解 因为 2(52,6.3 )N ,所以5 0 . 8 5 2 5 2 5 3 . 8 5 2 5 0 . 8 5 3 . 8 6 . 3 3 6 6 . 3 3 6 6 . 3 3 6XP X P10.8 7.2( ) ( )6.3 6.3 (1.71) ( 1.14)0.9564 1 0.8729 0.82932、在总体 (12,4)N 中随机抽取一容量为 5 的样本 1X , 2X , 3X , 4X , 5X ,( 1)求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率。( 2)求概率 1 2 3 4 5max( , , , , ) 15P X X X X X , 1 2 3 4 5min( , , , , ) 10P X X X X X解 ( 1)总体均值为 12 , ,样本均值511 4(12, )5 5iiX X N所求概率为| 12| 1 1 | 12| 1P X P X1 1 12 1P X1 12 11 4 5 4 5 4
2、 5XP5 51 ( ) ( )2 22 2 (1.12) 2(1 0.8686) 0.2628( 2) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5max( , , , , ) 15 1 max( , , , , ) 15P X X X X X P X X X X X1 2 3 4 51 15, 15, 15, 15, 15P X X X X X511 15iiP X5112 15 121 2 2iiXP51 ( (1.5) 51 (0.9332) 0.2923. ( 3) 1 2 3 4 5min( , , , , ) 10P X X X X X1 2 3 4 51 min( , , , , ) 10P X X X X X1 2 3 4 51 10, 10, 10, 10, 10P X X X X X511 10iiP X511 (1 10)iiP X5112 10 121 (1 )2 2iiXP511 (1 ( 1)i511 (1)i51 (0.8413) 1 04215 0.52853、 求总体 (20,3)N 的容量分别为 10,15 的两个独立样本均值差的绝对值不超过 0.3 的
3、概率。解 设容量为 10 的样本均值为 X ,样本容量为 15 的样本均值为 Y ,则 3(20, )10X ,3(20, )15Y ,3 3 1( ) (0, ) (0, )10 15 2X Y N N| | 0.3 1 | | 0.3P X Y P X Y1 0.3 0.3P X Y0.3 0.31 1 1 12 2 2X YP1 0.3 2 ( ) 2 0.3 2P X Y1 (0.3 2) ( 0.3 2)2 2 (0.3 2) 2 2 (0.42)2(1 0.6628) 2 0.3372 0.67444、( 1) 设 1 2 6, , ,X X X 样本是来自总体 (0,1)N , 2 21 2 3 4 5 6( ) ( )Y X X X X X X ,试确定常数 C,使 CY 服从 2 分布。( 2)设 1 2 5, , ,X X X 来自总体 (0,1)N 样本, 1 2 12 2 2 23 4 5( )( )C X XYX X X, 试确定常数 C 使 Y服从 t 分布。( 3)已知 ( )X t n ,求 2 (1, )X F n解 ( 1)因为 1 2 6, , ,
4、X X X 是来自总体 (0,1)N 的样本,由 2( , )i i iX N 知 2 2 21 2 1 2 1 2( ) ( , )N n nX X X N )故 1 2 3 (0,3)X X X N , 4 5 6 (0,3)X X X N ,且相互独立,因此1 2 3 (0,1)3X X X N , 4 5 6 (0,1)3X X X N且两者相互独立,由 2 2 21 2, , , nX X X 是来自总体 (0,1)N 的样本,则统计量2 2 2 2 21 2 ( )nX X X n由 2 分布的定义知2 221 2 3 4 5 6( ) ( ) (2)3 3X X X X X X即 2 (2)3Y ,所以 13C 。( 2)因为设 1 2 5, , ,X X X 是来自总体 (0,1)N 的样本 1 2 (0,2)X X N ,即有 1 2 (0,1)2X X N ,又有 2 2 2 23 4 5 (3)X X X且 1 22X X , 2 2 23 4 5X X X 相互独立,于是由 t 分布的定义知1 21 22 2 2 12 2 2 23 4 5 3 4 532 (3
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