概率论第六章习题解答

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概率论第六章习题解答

概率论第六章习题解答1、在总体 2(52,6.3 )N 中随机抽取一容量为 36 的样本，求样本均值 X 落在 50.8 与 53.8 之间的概率。解因为 2(52,6.3 )N ，所以5 0 . 8 5 2 5 2 5 3 . 8 5 2 5 0 . 8 5 3 . 8 6 . 3 3 6 6 . 3 3 6 6 . 3 3 6XP X P10.8 7.2( ) ( )6.3 6.3 (1.71) ( 1.14)0.9564 1 0.8729 0.82932、在总体 (12,4)N 中随机抽取一容量为 5 的样本 1X ， 2X ， 3X ， 4X ， 5X ，（ 1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率。（ 2）求概率 1 2 3 4 5max( , , , , ) 15P X X X X X ， 1 2 3 4 5min( , , , , ) 10P X X X X X解（ 1）总体均值为 12 ，，样本均值511 4(12, )5 5iiX X N所求概率为| 12| 1 1 | 12| 1P X P X1 1 12 1P X1 12 11 4 5 4 5 4 5XP5 51 ( ) ( )2 22 2 (1.12) 2(1 0.8686) 0.2628（ 2） 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5max( , , , , ) 15 1 max( , , , , ) 15P X X X X X P X X X X X1 2 3 4 51 15, 15, 15, 15, 15P X X X X X511 15iiP X5112 15 121 2 2iiXP51 ( (1.5) 51 (0.9332) 0.2923. （ 3） 1 2 3 4 5min( , , , , ) 10P X X X X X1 2 3 4 51 min( , , , , ) 10P X X X X X1 2 3 4 51 10, 10, 10, 10, 10P X X X X X511 10iiP X511 (1 10)iiP X5112 10 121 (1 )2 2iiXP511 (1 ( 1)i511 (1)i51 (0.8413) 1 04215 0.52853、求总体 (20,3)N 的容量分别为 10,15 的两个独立样本均值差的绝对值不超过 0.3 的概率。解设容量为 10 的样本均值为 X ，样本容量为 15 的样本均值为 Y ，则 3(20, )10X ，3(20, )15Y ，3 3 1( ) (0, ) (0, )10 15 2X Y N N| | 0.3 1 | | 0.3P X Y P X Y1 0.3 0.3P X Y0.3 0.31 1 1 12 2 2X YP1 0.3 2 ( ) 2 0.3 2P X Y1 (0.3 2) ( 0.3 2)2 2 (0.3 2) 2 2 (0.42)2(1 0.6628) 2 0.3372 0.67444、（ 1）设 1 2 6, , ,X X X 样本是来自总体 (0,1)N ， 2 21 2 3 4 5 6( ) ( )Y X X X X X X ，试确定常数 C，使 CY 服从 2 分布。（ 2）设 1 2 5, , ,X X X 来自总体 (0,1)N 样本， 1 2 12 2 2 23 4 5( )( )C X XYX X X，试确定常数 C 使 Y服从 t 分布。（ 3）已知 ( )X t n ，求 2 (1, )X F n解（ 1）因为 1 2 6, , ,X X X 是来自总体 (0,1)N 的样本，由 2( , )i i iX N 知 2 2 21 2 1 2 1 2( ) ( , )N n nX X X N ）故 1 2 3 (0,3)X X X N ， 4 5 6 (0,3)X X X N ，且相互独立，因此1 2 3 (0,1)3X X X N ， 4 5 6 (0,1)3X X X N且两者相互独立，由 2 2 21 2, , , nX X X 是来自总体 (0,1)N 的样本，则统计量2 2 2 2 21 2 ( )nX X X n由 2 分布的定义知2 221 2 3 4 5 6( ) ( ) (2)3 3X X X X X X即 2 (2)3Y ，所以 13C 。（ 2）因为设 1 2 5, , ,X X X 是来自总体 (0,1)N 的样本 1 2 (0,2)X X N ，即有 1 2 (0,1)2X X N ，又有 2 2 2 23 4 5 (3)X X X且 1 22X X ， 2 2 23 4 5X X X 相互独立，于是由 t 分布的定义知1 21 22 2 2 12 2 2 23 4 5 3 4 532 (3)2 ( )3X XX X tX X X X X X因此所求常数为 32C 。（ 3）因为 ( )X t n ，故 X 可写成 ZY n的形式，其中 (0,1)Z N ， 2 ( )Y n ，且 Z ， Y 相互独立，按 F 分布的定义知2 (1, )X F n 。5、（ 1）已知某种能力测试的得分服从正态分布 2( , )N ，随机地取 10 个人参加这一测试，求他们的联合概率密度，并求这 10 个人得分的平均值小于的概率。（ 2）在（ 1）中设 62 ， 2 25 ，若得分超过 70 就能得奖，求至少有一人得奖的概率。解设 iX 表示参加测试的 i 个人的得分（ 1,2, ,10i ），则 2( , )iX N ，22( )21( )2xXf x e ， 0 ， x由于 1 2 10, , ,X X X 相互独立，所以它们的联合的联合分布密度为22( )1021 2 1011( , , , )2ixXif x x x e10212( )10 21( )2iixe又101110 iiX X，10 101 11 1( ) ( ) ( )10 10i ii iE X E X E X210 1021 11 1( ) ( ) ( )10 10 10i ii iD X D X D X故2( , )10X N ，则 0 (0) 0.510XP X P（ 2）因为 (62,25)iX N ，若一人得分超过 70 就能得奖，则一人得奖的概率为 70 1 70i iP X P X62 70 621 1 (1.6) 1 0.9452 0.05485 5iXP则 10 个人得奖可以看作是一个二项分布： (10,0.0548)b ，设 A 表示没有人得奖，则0 0 1 010( ) (0.0548) (0.9452) 0.5692P A C( ) 1 0 . 5 6 9 2 0 . 4 3 0 8P A即至少有一得奖的概率为 0.4308。6、设总体 (1, )X b p ， 1 2, , , nX X X 是来自总体的样本。（ 1）求 1 2( , , , )nX X X 的分布律；（ 2）求1niiX 的分布律；（ 3）求 ( )E X ， ( )D X ， 2( )E S解（ 1）因为 1 2, , , nX X X 相互独立，且有 (1, )iX b p ， 1,2, ,i n ，即 iX 具有分布律 1 (1 )i ix xiP X x p p ， 0,1ix ，因此 1 2( , , , )nX X X 分布律为（各个样本的分布律的乘积）11 1 2 21 1 , , , (1 )i in nx xn n ii iP X x X x X x P X x p p1 1(1 )n ni ii ix xnp p（ 2）因为 1 2, , , nX X X 相互独立，且有 (1, )iX b p ，故1( , )niiX b n p ，其分布律为1 (1 )nk k n ki niP X k C p p7、设总体 2 ( )X n ， 1 2 10, , ,X X X 是来自 X 的样本，求 ( )E X ， ( )D X ， 2( )D S 。解因为 2 ( )X n ，所以 2( ) ( )iE X E n， 2( ) ( ) 2iD X D n 1,2, ,10i1 0 1 01 11 1( ) ( ) ( )10 10i ii iE X E X E X n1 0 1 021 11 1 2( ) ( ) ( )10 10 10 5i ii in nD X E X E X1 0 1 02 22 2 21 11 1( ) ( ( 10 ) ( ( ) 10 ( )9 9i ii iE S E X X E X E X因为 2 2 2( ) ( ) ( ( ) ) 2i i iE X D X E X n n2 2 2( ) ( ) ( ( ) 5nE X D X E X n所以102 2 211( ) ( (2 ) 10( )9 5inE S n n n2 21 (10(2 ) 10( )9 5nn n n1 1 8 29 n n8、总体 2( , )X N ， 1 2 10, , ,X X X 是来自 X 的样本，（ 1）写出 1 2 10, , ,X X X 的联合分布密度；（ 2）写出 X 的概率密度。解（ 1） 1 2 10, , ,X X X 联合概率密度22( )1021, 2 1011( , , )2xif x x x e10 2 21( ) 22 51(2 )i xe（ 2）因为 ( )E X ，2( ) 10D X ，所以2 22 2( ) 5( )2( 10 )1 5( )2 10x xXf x e e 。一般地 2( , )X N ，22( )2( )1( )2xnXf x en 。9、设在总体 2( , )X N 中抽取一容量为 16 的样本，这里， 2 均为未知。（ 1）求22 2.041SP ；其中 2S 为样本方差。（ 2） 2( )D S 。解（ 1）设 1 2 16, , ,X X X 为总体的一个样本，则由教材 P143 定理二知2221 ( 1)1S nn从而2 22 2 2.041 15 15 2.041S SP P （ n-1 15）221 15 30.615SP1 0.01 0.99（查表， 1 15n ， 2 ( 1) 30.615n ，得 0.01）（ 2）由于2221 ( 1)1S nn ，故22( 1)( ) 2( 1)n SD n （因为 2( ) 2D n ）224( 1 ) ( ) 2 ( 1 )n D S n即4 4222( 1) 2( )( 1) 1nD Sn n10 题和 11 题略去

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