直角三角形的射影定理.
9页1.4 直角三角形的射影定理,1.射影,点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影。,一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。,点和线段的正射影简称射影,探究:ABC是直角三角形,CD为斜边AB上的高。你能从射影的角度来考察AC与AD,BC与BD等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗?,射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。,用勾股定理能证明吗?,AB=AC+BC (AD+BD)=AC+BC 即2ADBD=AC-AD+BC-BD AC-AD=CD,BC-BD=CD 2ADBD=2CD CD= ADBD 而AC=AD+CD=AD+ADBD =AD(AD+BD)=ADAB 同理可证得BC= BDAB,例1 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D. AD=2,DB=8,求CD,AC和BC的长.,总结: 已知“直角三角形斜边上的高”这一基本图形中的六条线段中的任意两条线段,就可以求出其余四条线段,有时需要用到方程的思想。,习题1.4,1.,直角ABC中已知:CD=60 AD=25 求:BD,AB,AC,BC的长,BD=144,AB=169,AC=65,BC=156,2.(2007广州一模)如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,CD=4,BD=8,则圆O的半径等于_,5,例2 ABC中,顶点C在AB边上的射影为D,且 CD=ADDB 求证: ABC是直角三角形。,证明:在CDA和BDC中,总结: 1、知识:学习了直角 三角形中重要的比例式和比例中项的表达式射影定理。 2、方法:利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。 3、能力:会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。 4、数学思想:方程思想和转化思想。,例2 如图,在ABC中,CDAB于D, DFAC于F,DGBE于G。 求证:CF AC = CG BC,证明:CDAB,DF AC CDFCAD CFCD=CDAC CD 2 =CFAC 同理可证 CD2 =CGBC CFAC=CGBC,
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