加权平均值及其中误差
2页6-7 加权平均值及其中误差加权平均值及其中误差 一、不等精度观测和观测值的权一、不等精度观测和观测值的权在测量实践中,除了等精度观测之外,还有不等精度观测。此时,求多次观测的最或然值就不 能简单地用算术平均值,而是需要用“加权平均值”的方法求解。某一观测值或观测值的函数的误差越小(精度越高) ,其权越大;反之,其误差越大(精度越小) ,其权越小。一般用“ ”表示中误差,用“P”表示权权,并定义:“权与中误差的平方成反比”, 以公式表示为(6-26)式中,C 为任意常数。等于 1 的权称为“单位权“,权等于 1 的中误差称为“单位权中误差单位权中误差” ,一般用 表示。因此,权的另一种表达式为(6-27)中误差的另一种表达式为(6-28)在测量工作中,为了使权的概念简单明了,一般取一次观测、一个测回或单位长度( 1m 或 1km )等的测量误差作为单位权中误差。 二、加权平均值及其中误差二、加权平均值及其中误差对某一未知量进行一组不等精度观测: ,其中误差为 ,则观测值的权为 。按照误差理论,此时应按下式取其加权平均值加权平均值,作为该量的最或然值:上式可以写成线性函数的形式:根据线性函数的误差传播公式,得到上式可化为因此,加权平均值的中误差为(6-29)加权平均值的权为所有观测值的权之和:(6-30)三、单位权中误差的计算三、单位权中误差的计算在处理不等精度的测量成果时,需要根据单位权中误差来计算观测值的权和加权平均值的中误 差。单位权中误差一般取某一类观测值的基本精度,例如,水平角观测的一测回的中误差等。根据 一组对同一量的不等精度观测,可以估算本类观测值的单位权中误差。如对同一量的 n 个不等精度观测,得到.取以上各式的总和,并除以 n,得到用真误差 代替中误差 ,得到在观测量的真值已知时用真误差求单位权中误差的公式:(6-31)在观测值的真值未知的情况下,用观测值的加权平均值 代替真值 ;用观测值的改正值 代替真误差 ,得到按不等精度观测值的改正值计算单位权中误差的公式;(6-32)
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