概率论第三章习题参考解答

1、概率论第三章习题参考解答1. 如果服从0-1分布, 又知取1的概率为它取0的概率的两倍, 求的期望值解：由习题二第2题算出的分布率为01P1/32/3因此有E=0P(=0)+1P(=1)=2/32. 矩形土地的长与宽为随机变量和, 周长=2+2, 与的分布律如下表所示:长度293031P0.30.50.2宽度192021P0.30.40.3而求出的周长的分布律如下表所示:周长9698100102104P0.090.270.350.230.06求周长的期望值, 用两种方法计算, 一种是利用矩形长与宽的期望计算, 另一种是利用周长的分布计算.解: 由长和宽的分布率可以算得E=29P(=29)+30P(=30)+31P(=31) =290.3+300.5+310.2=29.9E=19P(=19)+20P(=20)+21P(=21) =190.3+200.4+210.3=20由期望的性质可得E=2(E+E)=2(29.9+20)=99.8而如果按的分布律计算它的期望值, 也可以得E=960.09+980.27+1000.35+1020.23+1040.06=99.8验证了期望的性质.4. 连续

2、型随机变量的概率密度为又知E=0.75, 求k和a的值。解: 由性质得即k=a+1(1)又知得k=0.75a+1.5(2)由(1)与(2)解得0.25a=0.5, 即a=2, k=36. 下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表. 从188辆汽车中, 任意抽选15辆, 得出下列数字: 90, 50, 150, 110, 90, 90, 110, 90, 50, 110, 90, 70, 50, 70, 150. (1)求这15个数字的平均数; (2) 计算表3-9中的期望并与(1)相比较.第一次发生引擎故障里数车辆数第一次发生引擎故障里数车辆数020510012046204011120140334060161401601660802516018028010034解: (1) 15个数的平均数为 (90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15 = 91.33(2) 按上表计算期望值为(105+3011+5016+7025+9034+11046+13033+15016+1

3、702)/188=96.177. 两种种子各播种300公顷地, 调查其收获量, 如下表所示, 分别求出它们产量的平均值(计算时以组中值为代表).公顷产量(kg)43504650465049504950525052505550总计种子甲公顷数12384010100种子乙公顷数23243023100解: 假设种子甲的每公顷产量数为, 种子乙的每公顷产量数为, 则E=(450012+480038+510040+540010)/100=4944E=(450023+480024+510030+540023)/100=49598. 一个螺丝钉的重量是随机变量, 期望值为10g, 标准差为1g. 100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立)解: 假设这100个螺丝钉的重量分别为1, 2, 100, 因此有Ei=10, Di=102=12=1, (i=1,2,100), 设为这100个螺丝钉的总重量，因此，则的数学期望和标准差为9. 已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值.解: 假设为取出5个产品中的次品数, 又假设i为第i

4、次取出的次品数, 即, 如果第i次取到的是次品, 则i=1否则i=0, i=1,2,3,4,5, i服从0-1分布,而且有Pi=0=90/100, Pi=1=10/100, i=1,2,3,4,5因此, Ei=10/100=1/10, 因为因此有10. 一批零件中有9个合格品和3个废品, 在安装机器时, 从这批零件中任取一个, 如果取出的是废品就不再放回去. 求取得第一个合格品之前, 已经取出的废品数的数学期望和方差.解: 假设在取到第一个合格品之前已取出的废品数为, 则可算出因此有11. 假定每人生日在各个月份的机会是同样的, 求3个人中生日在第一个季度的平均人数.解: 设三个随机变量i,(i=1,2,3), 如果3个人中的第i个人在第一季度出生, 则i=1, 否则i=0, 则i服从0-1分布, 且有P(i=1)=1/4, 因此Ei=1/4, (i=1,2,3)设为3个人在第一季度出生的人数, 则=1+2+3,因此E=E(1+2+3)=3Ei=3/4=0.7512. 有分布函数, 求E及D.解: 因的概率密度为, 因此13. , 求E和D.解: 因(x)是偶函数, 因此E=0, 则D

5、=E2-(E)2=E2因此有令则上式=即D=1/2=0.516. 如果与独立, 不求出的分布直接从的分布和的分布能否计算出D(), 怎样计算?解: 因与独立, 因此2与2也独立, 则有17. 随机变量是另一个随机变量的函数, 并且=e(0), 若E存在, 求证对于任何实数a都有.证: 分别就离散型和连续型两种情况证.在为离散型的情况:假设P(=xi)=pi, 则在为连续型的情况假设的概率密度为(x), 则证毕.18. 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.证: 设为一次试验中事件A发生的次数, 当然最多只能发生1次, 最少为0次, 即服从0-1分布, P=1=P(A)=p, P=0=1-p=q, 则19. 证明对于任何常数c, 随机变量有D=E(-c)2-(E-c)2证: 由方差的性质可知D(-c)=D, 而证毕.20. (,)的联合概率密度(x,y)=e-(x+y)(x,y0), 计算它们的协方差cov(,).解: 由(x,y)=e-(x+y)(x,y0)可知与相互独立, 因此必有cov(,)=0.21. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然

6、后再从袋中任取一球, 以, 分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求与的协方差.解: 可以求出与的分布律如下表所示 12101/321/31/3而由于对称性与的边缘分布率一样,P=2=P=2=2/3, P=1=P=1=1/3,E=E=则22. ( , )只取下列数组中的值：且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 求与的相关系数, 并判断与是否独立?解: 与的联合分布表及各边缘分布计算表如下表所示: 01/31pi(1)-101/121/35/1201/6001/625/12005/12pj(2)7/121/121/3因此则相关系数23. (,)的联合概率分布如下表所示, 计算与的相关系数, 并判断与是否独立? -101-11/81/81/801/801/811/81/81/8解: 由上表的数据的对称性可知与的边缘分布一样, 算出为P(=-1)=P(=-1)=3/8P(=0)=P(=-0)=2/8P(=1)=P(=1)=3/8由对称性可知E=E=.因此cov(,)=E()-E()E()=0则=0而P(=0,=0)=0P=0P=0=1/16因此与不独立. 这是一个随机变量间不相关也不独立的例子.24. 两个随机变量与, 已知D=25, D=36, =0.4, 计算D(+)与D(-).解:

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