高三数学一轮复习知识点归纳与总结定积分与微积分的基本定理
17页1、备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题2.考查简单定积分的求解如20XXXXT11等3.考查曲边梯形面积的求解如20XXXXT3,XXT15,上海T13等4.与几何概型相结合考查如20XXXXT6等.归纳知识整合1定积分定积分的相关概念在fdx中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b叫做积分区间,f叫做被积函数,x叫做积分变量,fdx叫做被积式定积分的几何意义当函数f在区间a,b上恒为正时,定积分fdx的几何意义是由直线xa,xb,y0和曲线yf所围成的曲边梯形的面积一般情况下,定积分fdx的几何意义是介于x轴、曲线f以及直线xa,xb之间的曲边梯形面积的代数和,其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数定积分的基本性质kfdxkfdx.f1f2dxf1dxf2dx.fdxfdxfdx.探究1.若积分变量为t,则fdx与fdt是否相等?提示:相等2一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗?提示:一个函数的导数
2、是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算3定积分fgdxfg的几何意义是什么?提示:由直线xa,xb和曲线yf,yg所围成的曲边梯形的面积2微积分基本定理如果f是区间a,b上的连续函数,并且Ff,那么fdxFF,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿莱布尼兹公式为了方便,常把FF记成F,即fdxFFF自测牛刀小试1.dx等于A2ln 2B2ln 2Cln 2 Dln 2解析:选Ddxln xln 4ln 2ln 2.2一质点运动时速度和时间的关系为Vt2t2,质点作直线运动,则此物体在时间1,2内的位移为A.B.C.D.解析:选ASdt.3直线x0,x2,y0与曲线yx2所围成的曲边梯形的面积为_解析:x2dxx3.答案:4dx_.解析:由定积分的几何意义可知,dx表示单位圆x2y21在第一象限内部分的面积,所以dx.答案:5由曲线y,直线yx所围成的封闭图形的面积为_解析:作出图象如图所示解方程组可得交点为A,B,所以阴影部分的面积,dx2ln
3、2.答案:2ln 2利用微积分基本定理求定积分例1利用微积分基本定理求下列定积分:dx;dx;xdx;dx; sin2dx.自主解答dxx2dx2xdx1dxx2x.dxsin xdxcos xdxsin x2.xdxdxx2dxxdxx3x2.dxe2xdxdxe2xln xe4e2ln 2ln 1e4e2ln 2. sin2dxdxdxcos xdxxsin x.求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分,解题的步骤是:把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;分别用求导公式找到一个相应的原函数;利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值;计算原始定积分的值1求下列定积分:|x1|dx;dx.解:|x1|故|x1|dxdxdx1. dx|sin xcos x|dx dx dx 122.利用定积分的几何意义求定积分例2dx_.自主解答dx表示y与x0,x1及y0所围成的图形的面积由y得2y21,又0x1,y与x0,x1及y0所围成的图形为个圆,其面积为.dx.在本例中,改变积分上限,求dx的值解:dx表示圆
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