定积分计算的总结论文
9页1、定积分计算的总结闫佳丽摘 要:本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结. 在定积分的计算中,常用的计算方法有四种:(1)定义法、(2)牛顿莱布尼茨 公式、(3)定积分的分部积分法、(4)定积分的换元积分法. 关键词:定义、牛顿莱布尼茨公式、分部积分、换元.1 前言17 世纪后期,出现了一个崭新的数学分支数学分析.它在数学领域中占据 着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限 运算.而其中的微分和积分这两个过程,则构成系统微积分的核心.并奠定了全部 分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分.2 正文那么,究竟什么是定积分呢?我们给定积分下一个定义:设函数f (x)在a,b 有定义,任给a,b一个分法T和一组己=,有积分和k&)小f(2 ,若当l(T) T 0时,积分和a(T,g)存在有限极限,设k =1lim a (T,g)= lim空/(gk)Axk= 1,且数I与分法T无关,也与g在x , x l(T)tOl(T)tO k kkk-1 kk =1的取法无关,即 Vs 0,35 O,VT: l (T) 5, Vg = g
2、有f (gk )Axk -1 ,kk=1则称函数f (x)在a,b可积,I是函数f (x)在a,b的定积分,记为Jbf (x)dx = lim X/(g戶广1 其中,a与b分别是定积分的下限与上限;al(T)tO k =1kf (x)是被积函数;f (x)dx是被积表达式;x是积分变量若当l(T) T 0时,积分 和a(T,g)不存在极限,则称函数f (x)在a,b不可积.定积分的几何意义也就是 表示x轴,x = a,x = b与y = f (x)围成的曲边梯形的面积.但是我们知道并不是所有的被积函数都是可积的,这就涉及到定积分的三类 可积函数:1、函数f (x)在闭区间a,b连续,则函数f (x)在闭区间a,b可积.2、函数f (x)在闭区间a,b有界,且有有限个间断点,则函数f (x)在闭区间 a, b可积.3、若函数f (x)在闭区间a,b单调,则函数f (x)在闭区间a,b可积. 在定积分的计算中,常用的有四种方法,在不同的情况下用的方法也是不同的.一、按照定义计算定积分. 定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限.以I J bf (x)dx为例:任意分
3、割,任意选取g作积分和再取极限任意分割任意取 akg 所计算出的 I 值如果全部相同的话,则定积分存在.如果在某种分法或者某种 kg的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者g的取法下计算出来的值不相 kk同,那么则说定积分不存在.如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计 算定积分是相当困难的,涉及到怎样才是任意分割任意取g 但是如果根据上述k三类可积函数判断出被积函数可积,那么就可以根据积分和的极限唯一性可作 a,b的特殊分法,选取特殊的g,计算出定积分.k第一步:分割.将区间a,b分成n个小区间,一般情况下采取等分的形式.h = 匕,那么n分割点的坐标为(a,0), (a + h,0), (a + 2h,0)(a + (n- 1)h,0), (b,0),g 在kLx ,x 上任意选取,但是我们在做题过程中会选取特殊的g,即左端点,右端 k -1 k k点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形.我们近似的看作是n个小 长方形.第二步:求和.计算n个小长方形的面积之和,也就是兰f (g k )h .k=i第三步:取极限.1二lim无f (勺b二hlim无f (勺),h T 0
4、即n *,也就是说分的越hTOhTOk=1k=1细,那么小曲边梯形就越接近小长方形,当n趋于无穷之时,小曲边梯形也就是小长方形,那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积,也就是定积分的积分值.例1、 用定义法求定积分I 1 xdx .0解:因为f (x) = X在0,1连续 所以f (x) = X在0,1可积将0,1等分成n个小区间,分点的坐标依次为0 v h 2h. nh = 1取g是小区间(k 1)h,kh的右端点,即g = kh于是kkI 1 xdx = lim khh = lim0n unT8n( n +1) (1 = limnTwn(n +1)2n 2= limnT8所以,11xdx =0 2二、微积分基本公式:牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起。利用此公式,可以根据不定积分的计算计算出定积分。这个公式要求函数f (x)在区间a,b内必须连续。求连续函数f (x)的定积分只需求出f (x)的一个原函数,再按照公式 计算即可.定理:若函数f (x)在区间a,b连续,且F(x)是f (x)的原函数,贝VIb f(x)dx=F(b)F(a).a证明
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