平面与平面垂直的判定省优质课比赛教学设计及反思

1、“平面与平面垂直的判定”（第一课时）教学设计教学目标知识目标：使学生正确理解“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并掌握二面角的平面角的作法及计算能力目标：通过组织引导学生参与“二面角”、“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，培养学生观察分析的能力、探究能力及空间想象、猜想证明的能力，并能解决有关简单的二面角问题情感目标：激发学生学习数学的热情，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神教学重点二面角的平面角的概念及作法教学难点二面角的平面角概念的形成过程以及如何根据条件作出二面角的平面角教学方法引导发现法、类比探索法教学过程一、创设情境，形成概念前面讨论了两个平面平行的问题，下面将要研究两个相交平面的位置关系在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，例如修筑水坝时，为了使水坝坚固，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球赤道平面成一定的角度（教师用多媒体显示模型）再如，公路上的坡面与水平面，打开的门与门框所在的平面等它们中的两个面成一定的角度为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的

2、角那么，怎么定义两个平面所成的角呢？（设计意图：从学生所熟悉的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际；同时由于多媒体的辅助作用，使新课的引入显得生动自然、易于接受然后引导学生逐步发现知识的形成过程，使教学活动真正建立在学生自主活动和探索的基础上，着力培养学生的创新能力）这就是今天我们研究的主题二面角（板书）教师：平面几何中“角”是怎样定义的？边边O顶点BA始边终边OBA顶点(教师用多媒体演示角的形成)学生：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角学生：一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角教师：那么它是由什么构成的？又如何表示？师生共同总结归纳：由射线点（顶点）射线构成，表示为AOB再引导学生思考：一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线l半平面直线半平面 即：面棱面O射线点射线即：边顶点边（设计意图：通过复习，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领会到，二面角这一概念的产生是因为它与我们的生活密不可分，激发学生的求知欲）类比得出概念：半平面：一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面（课件展示）有了这些

3、，你能根据这个角的定义类比出二面角的有关概念吗？学生：从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫二面角的棱，两个平面叫二面角的面.(教师用课件演示,并出示二面角的定义)（设计意图：创设问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间教师让学生充分思考，在结合电脑演示，启发学生通过角的定义用类比的方法给二面角下定义）二、讲授新课，展现目标 1二面角的概念：(与平面角类比)从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（课件展示）（设计意图：在掌握基础知识的同时，学生要注意领会化归、类比联想等数学思想方法的运用，学会建立完善的认知结构）（1）二面角的画法：分直立式与平卧式两种直立式 平卧式（设计意图：教师用几何画板演示，课件意在说明二面角的两种常见的画法及其它们的位置特点）（2）二面角的记法： “面1棱面2”以直线l为棱，以、为半平面的二面角记作：l；以直线l为棱，以平面ABCD、平面A1B1C1D1为半平面的二面角记作：面ABCDl面A1B1C1D1或“AlA1，等等；以直线AB为棱，平面CAB、平面DAB为半平面的二面角记作：CABD，等等（设计意图：另外，教师用课件

4、演示平面内的“角”与空间的“二面角”的联系与区别）三、提出问题 探索问题2二面角的平面角教师提出问题：平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样，一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量（用多媒体演示）这说明二面角不仅有大小而且其大小是惟一确定的那么，如何确定这个旋转量？如何去度量二面角的大小呢？（设计意图：教师提出问题，激发学生的探索欲望，从而培养学生的创造性思维）让学生主动动手操作并与同学讨论交流，尝试找到度量二面角大小的方法引导学生思考：异面直线所成角、直线和平面所成角的定义都是以两相交直线所成角度量的，那么用哪个角可以来度量二面角的大小呢？师生共同做实验：找一个角AOB将它放入二面角内，把角的顶点O放在棱上，角的两边分别紧贴在两个面上，能不能用平面的角AOB来度量二面角的大小呢？学生：不能，因为能OA和OB都可能绕着点O在它们所在的半平面内旋转，AOB就可能由0变化到180，这样二面角的大小就不能唯一确定了（投影几何画板显示实验过程）（设计意图：通过实验，说明在不规定度量方法的情况下，无法确定二面角的大小，这样既激发了兴趣，又培养了学生的动手能力，进一

5、步启疑导思，创设问题情境）教师：如何规定一个简明且便于应用的度量方法来确定其半平面的旋转量，使二面角的大小完全确定下来呢？也就是在二面角内如何找出一个平面的角使它能正确反映二面角的大小呢？学生：在二面角-l-的棱上任取一点O，在内过O作OAl，在内过O作OBl，射线OA和OB组成AOB，在棱l上另取一点O，按同样方法作AOB，由等角定理知=AOB，可见AOB的大小与O在棱上的位置无关balABp（设计意图：通过实验找到二面角的平面角，既解决了问题，也激发了学生的学习兴趣，培养了学生的动手操作能力 最后教师再利用课件把刚才的实验通过电脑演示出来，以加深同学的印象）现给出二面角的平面角的定义：（课件出示定义）二面角的平面角-以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角（师生共同总结归纳）二面角的平面角必须具备三个条件：（1）角的顶点在棱上（2）角的两边分别在两个半平面内（3）角的两边分别与棱垂直（设计意图：学生在参与探讨度量二面角大小方法过程中，生生之间、师生之间互相交流，共同讨论，变单向传递为多向交流，这样既发挥了学生主体作用，又

6、有利于学生协作意识形成和创新能力培养 通过学生充分参与活动，酝酿议论，画图，归纳，指导学生在归纳的基础上升华经过师生共同研讨，学生不仅学会了二面角的平面角的定义和二面角的度量方法，而且懂得了为什么要这样定义，今后如何给数学概念下定义）紧接着,教师强调：1.二面角的平面角的范围是 ，当两个半平面重合时，平面角为；当两个半平面合成一个平面时，平面角为2.直二面角：当二面角的平面角为直角时，二面角叫做直二面角，此时两平面垂直（课件出示）四、例题讲解，知识深化例1在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求:（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；（2）平面C1BD与面ABCD所成的角的大小；（3）二面角A-B1D1-C的大小（设计意图：教师用几何画板演示例1几何图形，增强立体感，加强直观，然后学生思考）例2.已知在一个60的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角度两个面内，且垂直于AB的线段，又知AB4cm，AC6cm，BD8cm，求CD的长（详细见课件）（例1图） （例2图）（设计意图：两道例题由浅入深，由易到难，既体现了教学的巩固性原则，又兼顾了因材施教的原则）

7、引导学生总结求二面角大小的步骤为：（1） 找出或作出二面角的平面角；（2）证明其符合定义；（3）计算.五、课堂练习 巩固知识1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.ABP B.ACP C.都不是； （答案：B）OABPC2如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值 (答案：)ABCP（第1题） （第2题）六、课堂小结 在学习完二面角及其平面角的概念后，要求学生对空间中三种角加以比较、归纳，以促成学生建立起空间中角这一概念系统 同时要求学生对本节课的学习方法进行总结，领会复习类比和深入研究这两种知识创新的方法（详见课件）二面角1二面角的概念2二面角的度量3二面角的作法演示区4例题5练习6小结附：板书设计：七、课外作业 见教材八、教学反思二面角的平面角是学生比较难接受的概念，同时又是本节课的重点内容之一，教学中注意应用建构主义的数学学习理论，引导认知主体积极参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去，使课堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思维活动的场所伴随着学生对知识的产生、发展、应用的全过程，学生进行了一次有意义的再创造活动，形成了一个优化和发展的知识结构，体验到了创造的快乐在教学过程中，教师从知识的传授转变为知识的“助产士”，使教与学的活动有机地结合在一起第 - 7 - 页 共 7 页

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