matlab有限域上的运算
13页1、-1 有限域根底知识1.1 有限域Galois域的构造令p为一个素数. 则对任意的一个正整数n,存在一个特征为p,元素个数为pn的有限域GF(pn).注:任意一个有限域,其元素的个数一定为pn,其中p为一个素数有限域的特征,n为一个正整数.例1有限域GF(p)令p为一个素数,集合GF(p)=Zp=0,1,2,p1.在GF(p)上定义加法和乘法分别为模p加法和模p乘法,即任意的a,bGF(p),ab=(a+b)modp,ab=(ab)modp则为一个有p个元素的有限域,其中零元素为0,单位元为1.令a为GF(p)中的一个非零元素. 由于gcd(a,p)=1,因此,存在整数b,c,使得ab+pc=1. 由此得到a的逆元为a1=bmodp.域GF(p)称为一个素域(prime field).例注1:给定a和p,例1中的等式ab+pc=1可以通过扩展的欧几里得除法得到,从而求得GF(p)中任意非零元素的逆元.例2有限域GF(pn)从GF(p)出发,对任意正整数n,n2,我们可以构造元素元素个数为pn的有限域GF(pn)如下:令g(*)为一个GF(p)上次数为n的不可约多项式,集合GF(pn)=
2、GF(p)*/g(*)=a0+a1*+a2*2+an1*n1|aiGF(p),0in1在GF(pn)上定义加法和乘法分别为模g(*)加法和模g(*)乘法,即任意的a(*),b(*)GF(pn),a(*)b(*)=a(*)+b(*),a(*)b(*)=(a(*)b(*)modg(*)则为一个有pn个元素,特征为p的有限域,其中零元素为GF(p)中的0,单位元为GF(p)中的1.令a(*)为GF(pn)中的一个非零元素. 由于gcd(a(*),g(*)=1,因此,存在GF(p)上的多项式b(*),c(*),使得a(*)b(*)+g(*)c(*)=1. 由此得到a(*)的逆元为a1(*)=b(*)modg(*).域GF(pn)称为GF(p)的n次扩域(e*tension field),而GF(p)称为GF(pn)的子域(subfield).例注2.1:给定GF(p)上的多项式a(*)和g(*),例2中的等式a(*)b(*)+g(*)c(*)=1可以通过扩展的欧几里得除法得到,从而求得GF(pn)中任意非零元素的逆元.例注2.2:设GF(q)是一个含有q个元素的有限域. 对任意正整数n, GF
3、(q)上的n次不可约多项式一定存在. 更进一步,GF(q)上首项系数为1的n次不可约多项式的个数为Nq(n)=1nd|n(nd)qd=1nd|n(d)qn/d其中为Moebius函数,定义为(m)=1(1)k0如果m=1如果m=p1p2pk,其中p1,p2,pk为互不一样的素数其它1.2 有限域的性质令GF(q)是一个含有q个元素的有限域,Fq=GF(q)0为有限域GF(q)中所有非零元素构成的集合. 则在乘法之下Fq是一个有限循环群. 循环群Fq的一个生成元称为有限域GF(q)的一个本原元.假设GF(q)为一个本原元,则GF(q)=0,1,2,q2并且q1=1,即q=.定义:设GF(q)是一个含有q个元素的有限域,GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域p不一定为素数,GF(q). 则GF(p)上以为根,首项系数为1,并且次数最低的多项式称为在GF(p)上的极小多项式(minimal polynomial of over GF(p). 特别地,假设GF(q)为GF(q)的一个本原元,则在GF(p)上的极小多项式称为GF(p)上的一个本原多项式(primitive polynom
4、ial for GF(q) over GF(p).定义注1:对任意的GF(q),在GF(p)上的极小多项式存在并且唯一,并且在GF(p)上的极小多项式为GF(p)上的一个不可约多项式.定义注2:设GF(q),则和p在GF(p)上具有一样的极小多项式. 更进一步,集合B()=,p,p2,p3,pi,中的元素具有一样的极小多项式. 设q=pn,则pn=. 因此,集合B()中互不一样的元素的个数记为r不超过n. 可以证明,为GF(q)的一个本原元当且仅当r=n.定理:设GF(q)是一个含有q个元素的有限域,GF(p)是GF(q)的一个含有p个元素的子域. 设GF(q),r为满足pr=的最小正整数. 则在GF(p)上的极小多项式g(*)是一个r次不可约多项式,并且B()=,p,p2,pr1中的元素为g(*)在GF(q)上的所有不同的根,即g(*)=(*)(*p)(*p2)(*pr1).注:r的计算方法如下:设在Fq中的阶为k. 集合Zk=m|0mk1,gcd(m,k)=1在模k乘法运算下是一个含有(k)个元素的有限群其中为欧拉(Euler)函数. 则r等于pmodk在Zk中的阶.推论:设GF(
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