2024年新高考艺体生冲刺复习考点07 三角函数的性质（解析版）

考点07 三角函数的性质一正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xk，kZ值域1，11，1R函数的最值最大值1，当且仅当x2k最小值1，当且仅当x2k最大值1，当且仅当x2k，最小值1，当且仅当x2k，无最大值和最小值单调性增区间k·2，k·2(kZ)；减区间k·2，k·2(kZ)增区间k·2，k·2(kZ)；减区间k·2，k·2(kZ)增区间(k·，k·)(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2k，k0，kZ，最小正周期为2周期为2k，k0，kZ，最小正周期为2周期为k，k0，kZ，最小正周期为对称性对称中心(k，0)，kZ，kZ，kZ对称轴xk，kZxk，kZ无对称轴零点k，kZk，kZk，kZ二用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1.在正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)2.在余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)3.用五点法画yAsin(x)(A>0，>0，xR)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A0三函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)(A>0，>0)的图象的两种途径1.两种途径：纵坐标保持不变，横坐标的变化（1）先伸缩（）后平移（）（2）先平移（）后伸缩（）2.伸缩平移的规律3.左右平移时应注意的三点（1）平移方向：弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象（2）函数名称：注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数（3）由yAsin x的图象得到yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为而不是|，即平移时x前的系数必须为1四解题思路总结解决三角函数性质的有关问题时，要化为yAsin(x)的形式，但最大值、最小值与A的符号有关，例子如下 函数yAsin(x)(A>0，>0)的性质，采用都是“整体代入”1.奇偶性：k(kZ)时，函数yAsin(x)为奇函数；k(kZ)时，函数yAsin(x)为偶函数（影响奇偶性的是，依据为诱导公式奇变偶不变符号看象限）2.周期性：(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.(2)公式法，对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，A0，0)的函数，T.(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.3单调性：根据ysin t和tx(>0)的单调性来研究，由2kx2k(kZ)得单调增区间；由2kx2k(kZ)得单调减区间（影响单调性主要是A和，两者同号求增代增，异号求增代减，依据为复合函数的“同增异减”）4对称性：利用ysin x的对称中心为(k，0)(kZ)求解，令xk(kZ)得其对称中心利用ysin x的对称轴为xk(kZ)求解，令xk(kZ)得其对称轴考点一 五点画图法【例1-1】（2023·河南省）用五点法作出函数在一个周期内的图象【答案】答案见解析【解析】列表如下描点连线，可得函数图象如下：  【变式】1（2023·全国·随堂练习）画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验：(1)；(2)；(3)(4)【答案】简图见详解【解析】（1）  （2）  （3）  （4）  2.（2023·课时练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？（1）；（2）；（3）.【答案】答案见解析【解析】（1）该图象与的图象关于轴对称，故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象.（2）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象.（3）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象.考点二 周期【例2-1】（2023湖南）下列函数中，最小正周期为的函数是（    ）Aysin xBycos xCysinDycos【答案】D【解析】A. ysin x的最小正周期为，故错误；B. ycos x的最小正周期为，故错误；C. ysin的最小正周期为，故错误；D. ycos，故正确；故选：D【例2-2】（2023·全国·假期作业）（多选）下列函数中，是周期函数的是（）A BC D 【答案】ABC【解析】对于A，的最小正周期为；对于B，的最小正周期为；对于C，的最小正周期为；对于D，函数图象关于轴对称，不具有奇偶性，故错误.故选：ABC【变式】1（202·安徽六安）（多选）下列函数中，最小正周期为的有（    ）ABCD【答案】AB【解析】对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，的最小正周期为，故B正确；对于C，的最小正周期为，故C错误；对于D，的最小正周期为2，故D错误.故选：AB.2（2023·江西上饶）（多选）下列函数，最小正周期为的有（    ）ABCD【答案】BC【解析】对于A，为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如下，不是周期函数，故A错误；对于B，作出函数的图象如下，观察可得其最小正周期为，故B正确；对于C，由周期公式可得，可得的最小正周期为，故C正确；对于D，由周期公式可得，可得的最小正周期为，故D错误.故选：BC3（2023·广东潮州）函数的最小正周期是 .【答案】【解析】因为，因为的最小正周期为，所以函数最小正周期为.故答案为：.4（2023·甘肃）请写出一个最小正周期为的函数 （写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由的周期为，得，不妨取，得一个满足题意的函数.故答案为：（答案不唯一）5（2023·北京海淀）函数的最小正周期是 .【答案】【解析】，则.故答案为：.考点三 对称性【例3-1】（2023·北京）函数的图象（    ）A关于直线对称B关于直线对称C关于点对称D关于点对称【答案】B【解析】A.，所以函数不关于直线对称，故A错误；B. ，所以函数关于直线对称，故B正确；C. ，所以函数不关于点对称，故C错误；D. ，所以函数不关于点对称，故D错误；故选：B【例3-2】（2023·河南）函数在区间上的一个对称中心是，则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题得，令，则，当时，故的值为.故选：D.【变式】1（2023云南）函数图象的一个对称中心可以是（）ABCD【答案】D【解析】对于A，由，得，则不是函数图象的一个对称中心，故A错误；对于B，由，得，则不是函数图象的一个对称中心，故B错误；对于C，由，得，则不是函数图象的一个对称中心，故C错误；对于D，得，则是函数图象的一个对称中心，故D正确.故选：D.2（2023·江苏扬州·统考模拟预测）以点为对称中心的函数是（    ）ABCD【答案】C【解析】对于A选项，对称中心为，故不选A；对于B选项，对称中心为，故不选B;对于C选项，对称中心为，故C选项正确；对于D选项，不是中心对称图形，故不选D.故选：C.3（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知函数图象的一条对称轴为直线，的一个周期为4，则的解析式可能为（    ）ABCD【答案】B【解析】对于A，由，显然不是对称轴，排除A；对于C, 的最小正周期，不合题意，排除C；由，显然不是对称轴，排除D；，即是对称轴，最小正周期，满足题设.故选：B4（2023·浙江）若函数的图象关于直线对称，则的最小值是（    ）ABCD【答案】C【解析】由题意则的最小值是，故选：C.考点四 单调性【例4-1】（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则（    ）A在上单调递减B在上单调递增C在上单调递减D在上单调递增【答案】C【解析】因为.对于A选项，当时，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，则在上不单调，D错.故选：C.【例4-2】（2023·江西宜春）已知，函数在单调递减，则的取值范围为 【答案】【解析】因为，又在上单调递减，所以，则，所以，令，因为，所以，所以问题转化为在（）上单调递减，则问题转化为在（）上单调递减，又，单调递减区间为，所以，所以，解得.故答案为：.【变式】1.（2023·山西）函数的单调增区间为（ ）ABC，D【答案】C【解析】，取，解得，.故选：C.2（2023上·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）已知函数，则（    ）A在单调递减B在单调递增C在单调递减D在单调递增【答案】C【解析】因为，对于选项A：因为，则，且在内不单调，所以在内不单调，故A错误；对于选项B：因为，则，且在内不单调，所以在内不单调，故B错误；对于选项C：因为，则，且在内单调递减，所以在内单调递减，故C正确；对于选项D：因为，则，且在内单调递减，所以在内单调递减，故D错误；故选：C.3（2023云南）函数， 的单调递减区间为 【答案】，【解析】由，得又，所以函数，的单调递减区间为，.故答案为：，4（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）若函数（）在区间上单调递增，则的取值范围 .【答案】【解析】由，得，取，得，又由在区间上单调递增，则,即，又，所以的取值范围为.故答案为：.考点五 奇偶性【例5-1】（2023上·山西·高二统考学业考试）函数是（    ）A 周期为的偶函数 B周期为的奇函数C周期为的偶函数D周期为的奇函数【答案】A【解析】，函数定义域为，为偶函数，故选：A【例5-2】（2023·福建）下列函数中，周期为的奇函数为（ ）ABCD【答案】A【解析】A选项，所以最小正周期为，又，所以为奇函数，故A正