线性代数考点总结和解题方法
21页1、第一部分:计算问题 四阶行列式的计算;n阶特殊行列式的计算(如:有行和、列和相等); 矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等 的混合运算);求矩阵的秩、逆矩阵(两种方法);解矩阵方程; 含参数的线性方程组解的情况的讨论;齐次、非齐次线性方程组的求解(包括唯一、无穷多 解);讨论一个向量能否用和向量组线性表示;讨论或证明向量组的相关性;求向量组的极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;将无关组正交化、单位化;求方阵的特征值和特征向量;讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换的矩 阵及对角阵;通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化; 写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩 阵;判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分:概念问题一、行列式1行列式的定义用n方个元素A 组成的记号称为n阶行列式。ij(1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素 乘积的代数和;(2)展开式共有n!项,其中符号正负各半;2行列式的计算(1)常见类型:一阶| a| = a行列式,二、三阶行列式有对角线法则; n阶(n=3)行列式的计算:降阶法定理:n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的
2、各 元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零 元素,其余元素化为0, 利用定理展开降阶。特殊情况:上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积;(2)行列式值为0的几种情况:I 行列式某行(列)元素全为0;II 行列式某行(列)的对应元素相同;III 行列式某行(列)的元素对应成比例;IV 奇数阶的反对称行列式。二. 矩阵1矩阵的基本概念(表示符号、一些特殊矩阵,如单 位矩阵、对角、对称矩阵等);2矩阵的运算(1)加减、数乘、乘法运算的条件、结果;(2)关于乘法的几个结论: 矩阵乘法一般不满足交换律(若AB = BA,称A、B 是可交换矩阵); 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在; 若A、B为同阶方阵,则|ab| = |a| *|b| ; |kA|=kn|A|3矩阵的秩(1)定义:非零子式的最大阶数称为矩阵的秩;(2)秩的求法:一般不用定义求,而用下面结论: 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;阶梯形矩阵的秩等 于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列,从此 元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得
3、秩。4逆矩阵(1) 定义:A、B为n阶方阵,若AB = BA = I,称A 可逆,B是A的逆矩阵(满足半边也成立);(2) 性质:(AB厂T=(B、1)*(A=1), (A厂-1=(A=1) ; (A B的逆矩阵)(注意顺序)(3) 可逆的条件: |A|#0;r(A)=n;A-I;(4) 逆的求解伴随矩阵法 AT=(1/|A|)A*; (A*A的伴随矩阵) 初等变换法(A:I)-(施行初等变换)(I:A=1)5用逆矩阵求解矩阵方程:AX=B,则 X二(A-1) B;XB=A,则 X=B(A、1);AXB=C,则 X=(A=1)C(B、1)三、线性方程组1. 线性方程组解的判定定理:(1) r(A,b)#r(A) 无解;(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解;(3) r(A,b)=r(A)n 有无穷多组解;特别地:对齐次线性方程组AX=0(1) r(A)=n只有零解;r(A)n有非零解;再特别,若为方阵,(1) |A#O只有零解(2) |A|=0有非零解2齐次线性方程组(1) 解的情况:r(A)=n,(或系数行列式DfO)只有零解;r(A)n,(或系数行列式D = 0)有无穷多组非
4、零解。(2) 解的结构:X=c1 a 1+c2 a 2+Cnr a n-r。(3) 求解的方法和步骤:将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵; 写出对应同解方程组; 移项,利用自由未知数表示所有未知数; 表示出基础解系;写出通解。3非齐次线性方程组(1) 解的情况:利用判定定理。(2) 解的结构:X=u+cl a l+c2 a 2+Cnr a nr。(3) 无穷多组解的求解方法和步骤:与齐次线性方程组相同。(4) 唯一解的解法:有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。四、向量组1. N维向量的定义注:向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。2向量的运算:(1) 加减、数乘运算(与矩阵运算相同);(2) 向量内积a 0 二a1b1+a2b2+anbn;(3)向量长度a 二 Ja a =丿(al 2+a2 2+an 2)(丿根号)(4) 向量单位化 (1/| a|)a;(5) 向量组的正交化(施密特方法)设a1,a 2,,a n线性无关,贝U01二al,0 2二a2-(a201/010 )* 01,0 3=a3- (a301/0101) *01-(a302 /02 02) *02
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