线性代数考点总结和解题方法

第一部分：计算问题 四阶行列式的计算；n阶特殊行列式的计算（如：有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等 的混合运算）；求矩阵的秩、逆矩阵（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多 解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩 阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩 阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：概念问题一、行列式1行列式的定义用n方个元素A 组成的记号称为n阶行列式。ij（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素 乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2行列式的计算（1）常见类型：一阶| a| = a行列式，二、三阶行列式有对角线法则； n阶（n=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各 元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零 元素，其余元素化为0, 利用定理展开降阶。特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：I 行列式某行（列）元素全为0;II 行列式某行（列）的对应元素相同；III 行列式某行（列）的元素对应成比例；IV 奇数阶的反对称行列式。二. 矩阵1矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵，如单 位矩阵、对角、对称矩阵等）；2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论： 矩阵乘法一般不满足交换律（若AB = BA，称A、B 是可交换矩阵）； 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； 若A、B为同阶方阵，则|ab| = |a| *|b| ； |kA|=k"n|A|3矩阵的秩（1）定义：非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法：一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等 于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此 元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵(1) 定义：A、B为n阶方阵，若AB = BA = I,称A 可逆，B是A的逆矩阵(满足半边也成立)；(2) 性质:(AB厂T=(B、1)*(A=1), (A'厂-1=(A=1)' ; (A B的逆矩阵)(注意顺序)(3) 可逆的条件： |A|#0;r(A)=n;A-I;(4) 逆的求解伴随矩阵法 AT=(1/|A|)A*; (A*A的伴随矩阵) 初等变换法(A:I)->(施行初等变换)(I:A=1)5用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则 X二(A-1) B;XB=A，则 X=B(A、1);AXB=C，则 X=(A=1)C(B、1)三、线性方程组1. 线性方程组解的判定定理：(1) r(A,b)#r(A) 无解；(2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3) r(A,b)=r(A)<n 有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=0(1) r(A)=n只有零解；r(A)n有非零解；再特别，若为方阵，(1) |A#O只有零解(2) |A|=0有非零解2齐次线性方程组(1) 解的情况：r(A)=n,(或系数行列式DfO)只有零解；r(A)<n,(或系数行列式D = 0)有无穷多组非零解。(2) 解的结构：X=c1 a 1+c2 a 2+Cnr a n-r。(3) 求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； 写出对应同解方程组； 移项，利用自由未知数表示所有未知数； 表示出基础解系；写出通解。3非齐次线性方程组(1) 解的情况：利用判定定理。(2) 解的结构：X=u+cl a l+c2 a 2+Cnr a nr。(3) 无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。(4) 唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。四、向量组1. N维向量的定义注:向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。2向量的运算：(1) 加减、数乘运算(与矩阵运算相同)；(2) 向量内积a ' 0 二a1b1+a2b2+anbn;(3)向量长度a 二 Ja ' a =丿(al 2+a2 2+an 2)(丿根号)(4) 向量单位化 (1/| a|)a;(5) 向量组的正交化(施密特方法)设a1,a 2,，a n线性无关，贝U01二al,0 2二a2-(a2'01/01'0 )* 01,0 3=a3- (a3'01/01'01) *01-(a3'02 /02' 02) *02,。3线性组合(1) 定义 若 0=k1a 1+k2 a 2+kn a n,则称0是向量组a1,a 2,，a n的一个线性组合，或称0可以用向量组a1,a 2,，a n的一个线性表示。(2) 判别方法 将向量组合成矩阵，记A=(a1, a 2, an), B=(a1, a 2, a n, 0)若 r (A)=r (B)，则0可以用向量组a1,a 2, , a n的一个线性表示；若 r (A)主r (B)，则0不可以用向量组a 1,2, ，an的一个线性表示。(3) 求线性表示表达式的方法：则最后将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵， 一列元素就是表示的系数。4向量组的线性相关性(1) 线性相关与线性无关的定义设 k1 a 1+k2 a 2+kn a n=0,若k1,k2,，kn不全为0, 称线性相关；若k1,k2,，kn全为0, 称线性无关。(2) 判别方法： r(a1,a 2,，an)n，线性相关； r(a1,a 2,，an)二n，线性无关。 若有n个n维向量，可用行列式判别：n阶行列式aij = 0, 线性相关(#0无关)(行列 式太不好打了)5极大无关组与向量组的秩(1) 定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩(2) 求法设A=(a1,a 2,，an)，将A化为 阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个 非零元所在列的向量就构成了极大无关组。五、矩阵的特征值和特征向量1定义 对方阵A, 若存在非零向量X和数 久使AX = AX,则称久 是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A 的对应于特征值久的特征向量。2特征值和特征向量的求解：求出特征方程|久I-A|=0的根即为特征值，将特征 值 久代入对应齐次线性方程组(久I-A)X = 0中求出方 程组的所有非零解即为特征向量。3重要结论：(1) A可逆的充要条件是A的特征值不等于0;(2) A与A的转置矩阵A有相同的特征值；(3) 不同特征值对应的特征向量线性无关。六、矩阵的相似1定义 对同阶方阵A、B, 若存在可逆矩阵P, 使P "TAP二B，则称A与B相似。2求A与对角矩阵八相似的方法与步骤(求P和八): 求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A 可对角化(否则不能对角化)，将这n个线性无关特 征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P, 依次将对应 特征值构成对角阵即为八。3求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得 特征向量正交化且单位化。七、二次型n1.定义 n元二次多项式f(xl,x2,，xn)二工 aijx ixj称为二次型，若aij=O(i#j)，则称为二交型的标 准型。i,j=12二次型标准化：配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角 化完全相同，这是由于对正交矩阵Q, Q-1=Q'，即正 交变换既是相似变换又是合同变换。3 二次型或对称矩阵的正定性：(1) 定义(略)；(2) 正 定的充要条件： A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0 ; A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于 0；线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等 的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多 解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组 线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩 阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩 阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式1行列式的定义用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元 素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2行列式的计算一阶| a| = a行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的 各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非 零元素，其余元素化为0, 利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角 线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：I 行列式某行（列）元素全为0;II 行列式某行（列）的对应元素相同；III 行列式某行（列）的元素对应成比例；IV 奇数阶的反对称行列式。二. 矩阵1. 矩阵的基本概念(表示符号、一-些特殊矩阵 - 如单位矩阵、对角、对称矩阵等)；2矩阵的运算(1) 加减、数乘、乘法运算的条件、结果；(2) 关于乘法的几个结论： 矩阵乘法一般不满足交换律(若AB = BA，称A、B 是可交换矩阵)； 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； 若A、B为同阶方阵，则|ab| = |a| *|b| ； |kA|=k"n|A|3矩阵的秩(1) 定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；(2) 秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等 于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列，从此 元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵)。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4逆矩阵(1)定义：A、B为n阶方阵，若AB = BA=I,称A 可逆，B是A的逆矩阵(满足半边也成立)；(2) 性质:(AB厂T=(B、1) *(A=1), (A'厂T二(A-l)' (A B的逆矩阵，你懂的)(注意顺序)(3) 可逆的条件： |A|#0;r(A)=