数列中蕴涵的数学思想
6页1、数列中蕴涵的数学思想 数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。数学思想与数学知识的形成过程同步发展,同时又贯穿于数学知识的学习理解和应用过程,是学生形成数学能力的必由之路。而数列知识中蕴涵着丰富的数学思想。一、 函数与方程思想例1、在等差数列中,已知,那么= 。解法1:设数列的公差为d,则 解得 评析:方程思想突出研究已知量与未知量间的等量关系,通过列方程(组)达到求值的目的。本题利用等差数列的性质:来列方程组求解,思路简洁、明晰,体现了方程的思想。解法2:由于为等差数列,故前项和: 。令,则:。此时可视为的二次函数。由题意得: 解得: 则 评析:函数思想贯穿于高中代数的全部内容,在研究数列时,函数与方程思想起着十分重要的作用。本题利用等差数列的求和公式:,在时,可视是关于的二次函数,从而利用方程组来求解。这就是函数思想的体现。例2、已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数。解:因为是等比数列,所以(为公比)即 所以 整理得 即 对于一切自然数都成立。而 ,所以 解得 或 所以 或。评析:此题从数列与方程的交汇处着手,根据等比数列的定义,得
2、出一个关于自然数的恒等式,进而列方程组求解。这其中蕴涵着函数和方程的思想。二、 数形结合思想例1、设等差数列中,为前项的和,且 ,求。分析:等差数列的前项和公式为。当时,是的二次函数。设,又,故对称轴为。由二次函数对称性知:。评析:数形结合就是使函数解析式与函数图象、方程与曲线建立起一一对应关系,使数量关系与图形性质相互转化。本题借助二次函数的对称性,利用数形结合思想使数列问题更直观、明了。例2、在数列中, 。问为何值时,取得最大值和最小值?yxO1解:,设函数,其图象如图所示:则满足的和的值为函数图象上的点。易知最小,最大。评析:数形结合就是“数”与“形”的相互转化,但解决过程中往往偏重于由“数”到“形”的转化。三、 分类讨论思想例1、已知等比数列的前项之和为,前项之和为,公比。令,求。解:当时,。当时, 若时,;若时,。综上,评析:分类讨论经常运用于含字母系数的数学问题,要注意正确进行分类,选取恰当的标准,进行不重不漏的划分。本题中等比数列的前项和要分和两种情况分别讨论。例2、已知数列满足(,),且首项为,求通项。解:当时, (1)令,则 即 由(1)得: 是以为首项,公比为的等比
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