一元二次方程的知识点总结
10页1、-一元二次方程知识点的总结知识结构梳理(1)含有个未知数。(2)未知数的最高次数是1、概念(3)是方程。 (4)一元二次方程的一般形式是。(1)法,适用于能化为 的一元。 二次方程一元二次方程(2)法,即把方程变形为ab=0的形式, 2、解法 (a,b 为两个因式), 则a=0或(3)法(4)法,其中求根公式是 当时,方程有两个不相等的实数根。(5) 当时,方程有两个相等的实数根。当时,方程有没有的实数根。可用于解*些求值题 (1) 一元二次方程的应用 (2) (3)可用于解决实际问题的步骤 (4) (5) (6)知识点归类建立一元二次方程模型知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式,则这样的方程叫做一元二次方程。注意:一元二次方程必须同时满足以下三点:方程是整式方程。它只含有一个未知数。未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时,需将方程化成一般形式。例 下列关于的方程,哪些是一元二次方程?;(3);(4);(5)知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为(a,b,c是已知数,)。其中a,b,c分别叫做二次项系数
2、、一次项系数、常数项。注意:(1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号。(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。 (3)形如不一定是一元二次方程,当且仅当时是一元二次方程。例1 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。(1); (2); (3)例2 已知关于的方程是一元二次方程时,则知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如:当时,所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知识点四 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步骤是:审题、设未知数、列方程。注意:(1)审题过程是找出已知量、未知量及等量关系;(2)设未知数要带单位;(3)建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。例 如图(1),有一个面积为150的长方形鸡场,鸡场一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成,若竹篱笆的长为35m,求鸡场的长和宽各为多少?鸡场(只设未知数,列出方程,并将它化成一般形式。)因式分解法、直接开平方法知识点一因式分解法解一元二次方程如果两个
3、因式的积等于0,则这两个方程中至少有一个等于0,即若pq=0时,则p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程的右边化为0;(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积。(3)令每个因式分别为0,得两个一元一次方程。(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。关键点:(1)要将方程右边化为0;(2)熟练掌握多项式因式分解的方法,常用方法有:提公式法,公式法(平方差公式,完全平方公式)等。例 用因式分解法解下列方程:(1); (2); (3)。知识点二 直接开平方法解一元二次方程若,则叫做a的平方根,表示为,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。(1)的解是;(2)的解是;(3)的解是。例 用直接开平方法解下列一元二次方程(1); (2); (3)知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程形如的方程,既可用因式分解法分解,也可用直接开平方法解。例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。(1); (2)知识点四 用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式(方程右边为0 时)的公因式提出,将多项式写出因式的乘积形式,然后利用若pq=0时
4、,则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法,称为提公因式法。如:,将原方程变形为,由此可得出注意:在解方程时,千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子,否则可能丢失原方程的根。知识点五 形如”的方程的解法。对于形如”的方程(或通过整理符合其形式的),可将左边分解因式,方程变形为,则,即。注意:应用这种方法解一元二次方程时,要熟悉”型方程的特征。例 解下列方程:(1); (2)配方法知识点一 配方法解一元二次方程时,在方程的左边加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种方法叫做配方,配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了,这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意:用配方法解一元二次方程,当对方程的左边配方时,一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后,还要再减去这个数。例 用配方法解下列方程:(1); (2)知识点二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:(1) 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数;(2) 把原方程变为的形式。(3) 若,用直接开平方法求出的值,若n0
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