中考压轴题突破:几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
9页1、 欢迎阅读本文档,希望本文档能对您有所帮助!中考压轴题突破:几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个:定点到定点:两点之间,线段最短;定点到定线:点线之间,垂线段最短。 由此派生:定点到定点:三角形两边之和大于第三边;定线到定线:平行线之间,垂线段最短;定点到定圆:点圆之间,点心线截距最短(长);定线到定圆:线圆之间,心垂线截距最短;定圆到定圆:圆圆之间,连心线截距最短(长)。余不赘述,下面仅举一例证明:定点到定圆:点圆之间,点心线截距最短(长)。已知O半径为r,AO=d,P是O上一点,求AP的最大值和最小值。证明:由“两点之间,线段最短”得APAO+PO,AOAP+PO,得d-rAPd+r,AP最小时点P在B处,最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”,其实质也是由“两点之间,线段最短”推得)。上面几种是解决相关问题的基本图形,所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式,如圆与线这些图形不是直接给出,而
2、是以符合一定条件的动点的形式确定的;再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况:(1)直接包含基本图形;(2)动点路径待确定;(3)动线(定点)位置需变换。(一)直接包含基本图形例1.在O中,圆的半径为6,B=30,AC是O的切线,则CD的最小值是 。简析:由B=30知弧AD一定,所以D是定点,C是直线AC上的动点,即为求定点D到定线AC的最短路径,求得当CDAC时最短为3。(二)动点路径待确定例2.,如图,在ABC中,ACB=90,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点(不与点B重合),将BCP沿CP所在的直线翻折,得到BCP,连接BA,则BA长度的最小值是。简析:A是定点,B是动点,但题中未明确告知B点的运动路径,所以需先确定B点运动路径是什么图形,一般有直线与圆两类。此题中B的路径是以C为圆心,BC为半径的圆弧,从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-BC=1。例3.在ABC中,AB=AC=5,cosABC=3/5,将ABC绕点C顺时针旋转,得到ABC,点E是BC上的中点,点F为线段AB上的动点,在ABC绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F,求线段EF
3、长度的最大值与最小值的差。简析:E是定点,F是动点,要确定F点的运动路径。先确定线段AB的运动轨迹是圆环,外圆半径为BC,内圆半径为AB边上的高,F是AB上任意一点,因此F的运动轨迹是圆环内的任意一点,由此转化为点E到圆环的最短和最长路径。E到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8,E到圆环的最长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9,其差为7.2。(三)动线(定点)位置需变换线段变换的方法:(1)等值变换:翻折、平移;(2)比例变换:三角、相似。【翻折变换类】典型问题:“将军饮马”例4.如图,AOB=30,点M、N分别是射线OA、OB上的动点,OP平分AOB,且OP=6,当PMN的周长最小值为 。简析:动线段(或定点)应居于动点轨迹的两侧,本题的三条动线段PM、MN、PN在OA、OB的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧,从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径。如图,把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2,PMN的周长转化为P1M+MN+P2N,这三条线段的和正是连接两个定点P1、P2之间的路径,从而转化为求P1、P2两点之间最短路径
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