现代控制理论第一章答案1
30页1、习题解答2-1 2-22-32-4252-62-72-82-92-102-112-122-132-142-152-162-172-182-1如题图2-1所示为RLC电路网络,其中Ui(t)为输入电压,安培表的指示电流io(t)为输出 量。试列写状态空间模型。题图 2-1解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.U (t) = L i (t) + U (t)idt L C1 -1i (t) = i (t) + i (t) = CU (t) + - U (t)L C Rt C R C 在这个电路中,只要给定了储能R元件电感L和电容C上的iL和UC的初始值,以及tt0 时刻后的输入量U.(t),则电路中各部分的电压、电流在tt0时刻以后的值就完全确定了。 也就是说,iL和UC可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选iL和 为 UC 状态变量,即x1(t)=iL, x2(t)=uC(3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有x1 11 = - x + UtL 2 L ix112 = x 一 xtC 1 RC 2经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩
2、阵微分方程组-状态方程1 0厂q1xLx1=1+Lx1-1x220L cRCUi(4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,R2y=(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达1 厂n0厂q1xLx1=1+Lx1-1x220LCRCUy=2-2如题图2-2所示为RLC电路网络,其中Vi(t)为输入电压,V2(t)为输出电压。试列写状态 空间模型。题图 2-2解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.+ R i - C 包C = uLd t 丿 1_ _ j “I._ du )u + R C C = R i C CLdt 丿(2) 选择状态变量.状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数.对本题x ( t )= i , x (t)= u(3)将状态变量代入电压电流的关系式:经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分 方程组-状态方程L此dt 1duC 2dt1x1x2-R R12 - (R + R ) L 12R(R + R )C-Ri (R + R ) L 12-1(R + R )C(4)
3、 列写描述输出变量与状态变量1之间2关系的输1 出方2 程,y = u = R21i - C duc I L dt 丿=R (x - Cx )=1 1 2x1x2RR12(R + R )(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系1统的2状态空1间模2型的状2 态空间表达x1x2-R R12 -(R + R ) L12R(R + R )C12RR12(R + R )C1Ri(R + R )(R + R )1 2 1 22x1x2Tx1+Lx2_ 0 _u-Ri (R + R ) L12 -12-3设有一个弹簧-质量-阻尼器系统,安装在一个不计质量的小车上,如题图2-3所示。u和y 为分别为小车和质量体的位移,k、b和m分别为弹簧弹性系数、阻尼器阻尼系数和质量解:下面推导安装在小车上的弹簧一质量一阻尼器系统的数学模型。假设t 0时小车静止 不动,并且安装在小车上面的弹簧质量阻尼器系统这时也处于静止状态(平衡状态)。 在这个系统中,u(t)是小车的位移,并且是系统的输入量。当t = 0时,小车以定常速度运动, 即u =常量。质量的位移y(t)为输出量(该位移是相对于地面的位移)。
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