现代控制理论第一章答案1
习题解答2-1 2-22-32-4252-62-72-82-92-102-112-122-132-142-152-162-172-182-1如题图2-1所示为RLC电路网络，其中Ui(t)为输入电压，安培表的指示电流io(t)为输出 量。试列写状态空间模型。题图 2-1解: (1) 根据回路电压和节点电流关系，列出各电压和电流所满足的关系式.U (t) = L i (t) + U (t)idt L C1 -1i (t) = i (t) + i (t) = CU (t) + - U (t)L C Rt C R C 在这个电路中，只要给定了储能R元件电感L和电容C上的iL和UC的初始值，以及t>t0 时刻后的输入量U.(t)，则电路中各部分的电压、电流在t>t0时刻以后的值就完全确定了。 也就是说,iL和UC可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组，因此可选iL和 为 UC 状态变量，即x1(t)=iL， x2(t)=uC(3) 将状态变量代入电压电流的关系式，有x1 11 = - x + UtL 2 L ix112 = x 一 xtC 1 RC 2经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组-状态方程1 0厂q1xLx1=1+Lx1-1x220L cRCUi(4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程，R2y=(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起，即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达1 厂n0厂q1xLx1=1+Lx1-1x220LCRCUy=2-2如题图2-2所示为RLC电路网络，其中Vi(t)为输入电压,V2(t)为输出电压。试列写状态 空间模型。题图 2-2解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.+ R i - C 包C = uLd t 丿 1_ _ j “I._ du )u + R C C = R i C CLdt 丿(2) 选择状态变量.状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数.对本题x ( t )= i , x (t)= u(3)将状态变量代入电压电流的关系式：经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分 方程组-状态方程L此dt 1duC 2dt1x1x2-R R12 - (R + R ) L 12R(R + R )C-Ri (R + R ) L 12-1(R + R )C(4) 列写描述输出变量与状态变量1之间2关系的输1 出方2 程,y = u = R21i - C duc I L dt 丿=R (x - Cx )=1 1 2x1x2RR12(R + R )(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系1统的2状态空1间模2型的状2 态空间表达x1x2-R R12 -(R + R ) L12R(R + R )C12RR12(R + R )C1Ri(R + R )(R + R )1 2 1 22x1x2Tx1+Lx2_ 0 _u-Ri (R + R ) L12 -12-3设有一个弹簧-质量-阻尼器系统，安装在一个不计质量的小车上,如题图2-3所示。u和y 为分别为小车和质量体的位移,k、b和m分别为弹簧弹性系数、阻尼器阻尼系数和质量解：下面推导安装在小车上的弹簧一质量一阻尼器系统的数学模型。假设t < 0时小车静止 不动,并且安装在小车上面的弹簧质量阻尼器系统这时也处于静止状态(平衡状态)。 在这个系统中,u(t)是小车的位移，并且是系统的输入量。当t = 0时，小车以定常速度运动, 即u =常量。质量的位移y(t)为输出量(该位移是相对于地面的位移)。在此系统中,m 表示质量,b表示黏性摩擦系数,k表示弹簧刚度。假设阻尼器的摩擦力与y -u成正比, 并且假设弹簧为线性弹簧，即弹簧力与yu成正比。 对于平移系统,牛顿第二定律可以表示为：ma = Y F式中,m为质量,a为质量加速度,工F为沿着加速度a的方向并作用在该质量上的外力之和。 对该系统应用牛顿第二定律,并且不计小车的质量,我们得到：m如dt2=-bd2 ydy dum- + b + ky = bF ku即：dt 2dtdt这个方程就是该系统的数学模型。对这个方程进行拉普拉斯变换,并且令初始条件等于零,得 到：(ms2 Fbs F k)Y(s) = (bs F k)U(s)取Y(3)与(s)之比，求得系统的传递函数为： Y (s)bs + kG (s)=U ( s ) ms 2 F bs F k下面我们来求这个系统的状态空间模型。首先将该系统的微分方程.b . k b . ky+y + y =u +ummmmy + a y + a y = b u + bu + b u1 2 o 1 22m与下列标准形式比较得到：即而得到：a并定义：xy-pu=y10x=x p u -=x -b-u2111m可得到：输出方程为即：x = -a x - a x + p u =2 21 1 2 2y= x1bkr b卩x +um2mIm丿k xm1一 01x1=kbx2_ mmx1 +x2y = Q 0xi2-4题图2-4为登月舱在月球软着陆的示意图。其中,m为登月舱质量,g为月球表面重力常数,-km项为反向推力，和为常数,y为登月舱相对于地球表面着陆点的距离。现指定状态 变量组二y，X2二y和二m，输入变量u = m，试列出系统的状态方程。解：本题属于由物理系统建立状态空间描述的基本题。 对给定力学系统,储能元件质量的相应变量即位置、速度和质量（本题中他也是随时间改变的）,可被取为状态变量组基此，利用力学定律并考虑到输入变量u = m，先来导出x = y = x12. k . gmg , kx = y = 一 m - = -一 x +一 u 2 m mx 3 x33x = m = u 在将此方程组表为向量方程,就得3 到系统的状态方程：x0 10 x_ 0"11x=0 0 -gx+-k2x2x33x0 0 0x133且由状态方程形式可以看出,给定力学系统为非线性系统。2-5某磁场控制的直流电动机的简化原理图如题图2-5所示,其中电动机轴上的负载为阻尼摩 擦,其摩擦系数为f；电动机轴上的转动惯量为J。设输入为电枢电压ua和激磁电压与输 出为电机转角e试列出系统的状态空间模型。a题图 2-5解 设电动机的铁芯工作在非饱和区。分析题图2-5 所描述的电动机转速控制系统,可以写出电动机的主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动方程为u = R i + Ea a a adiu = R i + L -ff f f f d tM = J型dt2+ f艺dt式中,E和M分别为如下电动机电枢电势和电动机转矩且a=C巴=ki巴e d t e f d t ,式中,C和C分别为电动机的电枢电势常数和转矩常数；为磁场的磁通量，其正比于励磁 em回路电流f k和k分别为比例常数。因此，主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动可记 fem为f emu = R i + k i a a a e f d tdi< u = R i + L -ff f f f dt7 r d20d0k i i = J+ f 、m f adt2dt(2-13)对于上述微分方程组，若已知电枢电流f(t)、角位移 血)及其导数d0(t)/dt在初始时刻t0 的值,以及电枢电压u和励磁回路电压u#则方程组有惟一解。因此，可以选择状态变量为 afx (t) = i (t),x (t) =0(t),x (t)=1 f23dt因此,由微分方程组(2-13)可得系统的状态方程为R 1X = - x + u1 L i L fff< x = x2 3aJ3 k f kX =mX i - x =mx3 J 1 a J 3 J 1输出方程为由上述状态方程和输出方程可得系统的非线性状态空间模型为< x = x23k k k fx = m u x - me x 2 x - x3 JR a 1 JR 1 3 J 3 aay=x题图2-62-6题图2-6为一化学反应器，它是一个均匀、连续流动单元，其中发生如下反应速率常数为k 的一级吸热反应AkB该化工反应生产过程为:温度为常量片含A物质浓度为常量C的料液以Q(t)的流量进入反 应器;假定流出的液体的流量也为Q(t),保持单元内液体体积为V;为了使化学反应向右进行, 用蒸汽对反应器内的溶液进行加热，蒸汽加热量为q(t)。试以料液的流量Q(t)和蒸汽加热量 q(t)为输入，容器内的液体的温度0(t)和物质B的浓度CB(t)为输出，建立状态空间模型。d cA Cb参见2.2小节例题2-7. 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型。y + 2y + 6y + 3y = 5u2y- 3y= u - u(3)y + 4 y + 5 y + 2 y = 2U + u + u+ 2u解 (1)由所求的系统输入输出方程,有a1=2, a2=6, a3=3, b=5当选择输出y及其1阶、2阶导数为状态变量时，可得状态空间模型为0100x =001x+03一625y = 1 0 0 xu(2)先将方程变换成y的首项的系数为1,对方程两边除以2,得.31.1y 一 y = u 一 u222
