2025版高考数学总复习第8章平面解析几何第8讲圆锥曲线__求值证明问题提能训练
5页1、第8讲 圆锥曲线求值、证明问题1(2023广东惠州市一模)已知双曲线C:1(a0,b0)的焦距为2,且双曲线C右支上一动点P(x0,y0)到两条渐近线l1,l2的距离之积为.(1)求双曲线C的标准方程;(2)设直线l是曲线C在点P(x0,y0)处的切线,且l分别交两条渐近线l1,l2于M、N两点,O为坐标原点,求MON的面积解析(1)双曲线C的渐近线方程为bxay0和bxay0,所以有.由题意可得,又2c2,则c2a2b25,解得a2,b1,则双曲线的方程为y21.(2)当直线斜率不存在时,易知此时P(2,0),直线l:x2,不妨设M(2,1),N(2,1),得SMON2;当直线斜率存在时,设直线l的方程为ykxm,与双曲线的方程x24y24联立,可得(4k21)x28kmx4m240,直线与双曲线的右支相切,可得(8km)24(4k21)(4m24)0,故4k2m21.设直线l与x轴交于D,则D,又双曲线的渐近线方程为yx,联立可得M,同理可得N,SMONSMODSNOD|OD|yMyN|k|xMxN|k|k|2.综上,MON面积为2.2已知双曲线C:1(a0,b0)与椭圆y21有相
2、同的焦点,且过点(,),直线l交双曲线于A、B两点,且原点O到直线l的距离为.(1)求双曲线C的方程;(2)证明:OAOB.解析(1)因为椭圆y21的焦点为(,0),又双曲线C:1与椭圆y21有相同的焦点,所以a2b2()23,因为双曲线C:1过点(,),所以1,即1,化简得a47a260,解得a21(a26舍去),所以b23a22,所以双曲线C的方程为:x21.(2)当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为xt,因为原点O到直线l的距离为.所以直线l的方程为x,此时设A、B两点的坐标为A(,),B(,),所以(,)(,)0,所以OAOB;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为ykxm,因为原点O到直线l的距离为,所以,整理得m22(k21),直线l的方程ykxm与双曲线的方程联立整理得(2k2)x22mkxm220,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2,所以x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2mk(x1x2)m2mkm20,所以OAOB,综上可得OAOB.3(2024湖北部分学校联考)已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,过F
3、作斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,当k时,|AB|6.(1)求抛物线C的标准方程;(2)设线段AB的中垂线与x轴交于点P,抛物线C在A,B两点处的切线相交于点Q,设P,Q两点到直线l的距离分别为d1,d2,求的值解析(1)当k时,直线l的方程为y,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组消去y得x22px0,所以4p243p2,x1x22p,所以|AB|x1x2p3p6,解得p2,所以抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)知F(1,0),则l:yk(x1),不妨设A(x1,2),B(x2,2),线段AB的中点为M,联立方程组消去y得k2x2(2k24)xk20,所以x1x2,x1x21.易得M,则AB的中垂线方程为y,令y0,得x3,所以P,所以d1.切线QA:y,QB:y.联立方程组解得由k2x(2k24)x1k20,得x12,所以,所以y,即Q,所以点Q到直线kxyk0的距离d2.故1.4(2023高考天津卷)设椭圆1(ab0)的左右顶点分别为A1,A2,右焦点为F,已知|A1F|3,|A2F|1.(1)求椭圆方程及其离心率;(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合),直线A2P交y轴于点Q,若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP面积的二倍,求直线A2P的方程解析(1)如图,由题意得解得a2,c1,所以b,所以椭圆的方程为1,离心率为e.(2)由题意得,直线A2P斜率存在,由椭圆的方程为1可得A2(2,0),设直线A2P的方程为yk(x2),联立方程组消去y整理得:(34k2)x216k2x16k2120,由韦达定理得xA2xP,所以xP,所以P,Q(0,2k)所以SA2QA14|yQ|,SA2PF1|yP|,SA1A2P4|yP|,所以SA2QA1SA1PQSA1A2P2SA2PFSA1A2P,所以2|yQ|3|yP|,即2|2k|3,解得k,所以直线A2P的方程为y(x2)
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