2025版高考数学总复习第8章平面解析几何第8讲圆锥曲线__求值证明问题提能训练

第8讲 圆锥曲线求值、证明问题1(2023·广东惠州市一模)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线C右支上一动点P(x0，y0)到两条渐近线l1，l2的距离之积为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设直线l是曲线C在点P(x0，y0)处的切线，且l分别交两条渐近线l1，l2于M、N两点，O为坐标原点，求MON的面积解析(1)双曲线C的渐近线方程为bxay0和bxay0，所以有·.由题意可得，又2c2，则c2a2b25，解得a2，b1，则双曲线的方程为y21.(2)当直线斜率不存在时，易知此时P(2,0)，直线l：x2，不妨设M(2,1)，N(2，1)，得SMON2；当直线斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，与双曲线的方程x24y24联立，可得(4k21)x28kmx4m240，直线与双曲线的右支相切，可得(8km)24(4k21)(4m24)0，故4k2m21.设直线l与x轴交于D，则D，又双曲线的渐近线方程为y±x，联立可得M，同理可得N，SMONSMODSNOD|OD|yMyN|·|k|·|xMxN|·|k|··|k|·2.综上，MON面积为2.2已知双曲线C：1(a>0，b>0)与椭圆y21有相同的焦点，且过点(，)，直线l交双曲线于A、B两点，且原点O到直线l的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)证明：OAOB.解析(1)因为椭圆y21的焦点为(±，0)，又双曲线C：1与椭圆y21有相同的焦点，所以a2b2()23，因为双曲线C：1过点(，)，所以1，即1，化简得a47a260，解得a21(a26舍去)，所以b23a22，所以双曲线C的方程为：x21.(2)当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为xt，因为原点O到直线l的距离为.所以直线l的方程为x±，此时设A、B两点的坐标为A(，)，B(，)，所以·(，)·(，)××0，所以OAOB；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，因为原点O到直线l的距离为，所以，整理得m22(k21)，直线l的方程ykxm与双曲线的方程联立整理得(2k2)x22mkxm220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以·x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2mk(x1x2)m2mk·m20，所以OAOB，综上可得OAOB.3(2024·湖北部分学校联考)已知抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，当k时，|AB|6.(1)求抛物线C的标准方程；(2)设线段AB的中垂线与x轴交于点P，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点Q，设P，Q两点到直线l的距离分别为d1，d2，求的值解析(1)当k时，直线l的方程为y，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y得x22px0，所以4p24×3p2，x1x22p，所以|AB|x1x2p3p6，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)知F(1,0)，则l：yk(x1)，不妨设A(x1，2)，B(x2，2)，线段AB的中点为M，联立方程组消去y得k2x2(2k24)xk20，所以x1x2，x1x21.易得M，则AB的中垂线方程为y，令y0，得x3，所以P，所以d1.切线QA：y，QB：y.联立方程组解得由k2x(2k24)x1k20，得x12，所以，所以y，即Q，所以点Q到直线kxyk0的距离d2.故1.4(2023·高考天津卷)设椭圆1(a>b>0)的左右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，已知|A1F|3，|A2F|1.(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP面积的二倍，求直线A2P的方程解析(1)如图，由题意得解得a2，c1，所以b，所以椭圆的方程为1，离心率为e.(2)由题意得，直线A2P斜率存在，由椭圆的方程为1可得A2(2,0)，设直线A2P的方程为yk(x2)，联立方程组消去y整理得：(34k2)x216k2x16k2120，由韦达定理得xA2·xP，所以xP，所以P，Q(0，2k)所以SA2QA1×4×|yQ|，SA2PF×1×|yP|，SA1A2P×4×|yP|，所以SA2QA1SA1PQSA1A2P2SA2PFSA1A2P，所以2|yQ|3|yP|，即2|2k|3，解得k±，所以直线A2P的方程为y±(x2)