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第19章四边形（知识点汇总·沪科版八年级下册数学）

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1、第19章四边形一、多边形1多边形及其相关概念定义：由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。一个n边形有n个内角，有2n个外角。如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，这(n-3)条对角线把n边形分成（n-2）个三角形。从n边形的所有顶点引对角线的总条数为：条。2多边形的内角和公式n边形的内角和(n-2)1803多边形的外角和。（1）多边形的外角和定义：从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和。（2）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360。多边形的外角和与多边形的边数无关。4用正多边形拼地板（1）用相同的正多边形拼地板：能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加恰好等于360。在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中能够拼出完整地面是这就是说，当(360 )为正整数时，即为正整数时，用这样的正n

2、边形就可以铺满地面。设正多边形的个数为n，每个内角为，则要铺满地面，它们满足下列关系：n=360（2）用多种正多边形拼地板铺垫满地面的标志：满足围绕一点的这几个正多边形的一个内角的和等于360设正多边形甲的个数为n，每个内角为，正多边形乙的个数为m，每个内角为，则它们满足下列关系：n+m=360二、平行四边形1、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形它用符号“”表示，平行四边形ABCD记作ABCD2、平行四边形的性质（1）边：平行四边形的对边平行且相等（2）角：平行四边形的对角相等，邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点（5）周长：一组邻边之和的倍（6）面积：底乘以高（为一边长，为这条边上的高）【注意】一般情况下平行四边形不是轴对称图形同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等如下图：，且3、平行四边形的判定（1）边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）对角线：对角线

3、互相平分的四边形是平行四边形【注意】边的判定中，一组对边相等，另一组对边平行不能判定是平行四边形，有可能是等腰梯形4、三角形中位线（1）定义：连接三角形任意两边中点的线段叫做三角形的中位线（2）性质：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的一半（3）判定点、分别是三角形边、的中点，则点是三角形边的中点，且，则点为中点【注意】也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边并交于第三边所得的线段也是中位线以下是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质三、矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2、性质（矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质）边：对边平行且相等角：四个角都是直角对角线：对角线互相平分且相等对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形周长：（、为一组邻边）面积：（、为一组邻边）【注意】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半这两条直角三角形的性质是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得3、判定有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是

4、直角的四边形是矩形四、菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、性质（菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质）边的性质：对边平行且四边相等角的性质：邻角互补，对角相等对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形周长：（为边长）菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半（为一边长，为这条边上的高）；（、为两条对角线的长）【注意】其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半3、判定一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形五、正方形1、定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形2、性质（正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形它具有前三者的所有性质）边：对边平行，四条边都相等角：四个角都是直角对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形周长：（为边长）面积：（为边长）；（为对角线长）【注意】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3、判定有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做

5、正方形有一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形解题方法与技巧1、中点坐标公式：所在线段两个端点的坐标和的一半例如若和的中点的坐标为中点坐标公式法，常用于平行四边形的存在性问题2、等面积问题（1）对角线四等分平行四边形的面积如下图：（2）过对角线交点的直线平分平行四边形的面积如下图：平行四边形中，任意直线过对角线交点,则有：，直线平分平行四边形的面积【补充】两条平行线间的距离：在两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离【注意】夹在两条平行线间的平行线段相等（3）给定两个任意平行四边形，则过这两个平行四边形对角线交点的直线平分这两个平行四边形的面积如图 3、中位线的辅助线4、平行四边形的相关辅助线（1）过平行四边形的顶点向对边作高（2）平行四边形相邻内角平分线互相垂直（3）平移对角线5、中点四边形（1）任意四边形的中点四边形为平行四边形（2）对角线垂直的四边形的中点四边形为矩形（3）对角线相等的四边形的中点四边形为菱形（4）对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形6、对角线互相垂直的四边形（1）中点四边形为矩形；如图1（2）四边形面积等于对角线乘积的一半；即（3）四边形对边的平方和相等即7、筝形：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O（1）（2）一组对角相等，即（3）对角线平分一组对角，即平分（4）对角线互相垂直，即（5）一条对角线平分另一条对角线，即平分（）（6）（7）筝形是轴对称图形，即所在直线为其对称轴【注意】这些性质需先证明后运用8、平行四边形和特殊平行四边形之间的判定关系9、正方形共顶点旋转10、正方形角含半角旋转11、正方形与弦图12、正方形等面积结论（1）（2）为中点，则10

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