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导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧2

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常见问题

1、函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法含参数问题及恒成立问题方法小结：1、分类讨论思想2、判别法3、分离参数法4、构造新函数法一、分离讨论思想：例题1:讨论下列函数单调性：bx1、fx=axa,a0,a1;2、fx=（1x1,b0）x1判别法例2:已知不等式(a2)x22(a2)x40对于xR恒成立，求参数a的取值范围.解：要使（a2)x22(a2)x40对于xR恒成立，则只须满足：a20a20（1）或(2)2(a2)04(a2)216(a2)040a2解（1）得，解（2）a=2参数a的取值范围是-2va22a2练习1.已知函数yigx2(a1)xa2的定义域为R,求实数a的取值范围。三、分离法参数：分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题即:(1)/Wm对任意x都成立mmin(2)W

2、E对任意x都成立Er(町例3.已知函数f(x)ax4xx2,x(0,4时f(x)0恒成立，求实数a的取值范围。ag(x)min由g(x)解：将问题转化为a对x(0,4恒成立，令g(x)x4xx2x1可知g(x)在(0,4上为减函数，故g(x)ming(4)0/-a0即a的取值范围为(，0)。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。例4.已知函数f(x)2x2xax1,)，若对任意x1,),f(x)0恒成立,求实数a的取值范围。(答案a3)例题5.已知函数fxlnx,gx122axbx,a0.若b2且hxfxgx存在单调递减区间，求a的取值范围;12解：当b2时，h(x)lnxax2x.，则h(x)2丄ax2x2ax2x1x因为函数hx存在单调递减区间，所以h(x)0有解.由题设可知,hx的定义域是0,，而hx0在0,上有解,就等价hx0于在区间0,能成立,12即a-y，x0,xx成立，进而等价于aUminx成立,其中UX2121由UX211得,UminX1.于是,a1,XXX由题设a0,所以a的取值范围是1,00,2例6已知f(x)2xaX2a在口，)上是单调递增函数，求a的取值范围.2x解f(X)xaa,.f(X)1.又f(X)在1,)上是单调递增函数，x2，X.f(x)0.于是可得不等式aX2对于x1恒成立.a(x2)maX.由x1,2得x1.a1.四、构造法：利用导数解决不等式问题，实质上是转化为构造函数，利用导数研究函数的单调性，转化的思路一般如下：f(x)g(x)?F(x)=f(x)g(x)0?F(x)min0,f(x)wg(x)?F(x)=f(x)g(x)O?F(x)max0.例题7设fx=lnx,g(x)fx+f(x)。1(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)和g(-)的大小；(3)求a的取值范围,x1使得g(a)g(x)，对任意的x0成立。a例题8:求证：当x0时，xln(1x)例题7:答案:X(0,1)g(x)1X1,g(X)g()；当X(1)减区间：(0,1);增区间1,;最小值1.(2)当111g(-);当X(1,)g(x)g()g(x)g()XXX

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