2007-2011全国高中数学联赛试题及答案
34页1、2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷(考试时间:10月17日上午800920)一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分把答案填在横线上1函数的值域是 2已知函数的最小值为,则实数的取值范围是 3双曲线的右半支与直线围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是 4已知是公差不为0的等差数列,是等比数列,其中,且存在常数,使得对每一个正整数都有,则 5函数(,)在区间上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是 6两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷先投掷人的获胜概率是 7正三棱柱的9条棱长都相等,是的中点,二面角,则 8方程满足的正整数解(,)的个数是 二、解答题:本大题共3小题,共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9(本小题满分16分)已知函数(),当时,试求的最大值10(本小题满分20分)已知抛物线上的两个动点(,)和(,),其中且线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值11(本小题满分20分)证明:方程恰有一个实数根,且存在唯一的严格递增正整数数列,使得2010年全国高中数学联合竞赛加试试卷
2、(A卷)(考试时间:10月17日上午9401210)一、(本题满分40分)如图,锐角三角形的外心为,是边上一点(不是边的中点),是线段延长线上一点,直线与交于点,直线与交于点求证:若,则,四点共圆二、(本题满分40分)设是给定的正整数,记,证明:存在正整数,使得为一个整数这里表示不小于实数的最小整数,例如:,三、(本题满分50分)给定整数,设正实数,满足,记,求证:四、(本题满分50分)一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明:1评阅试卷时,请依据本评分标准,填空题只设7分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中至少4分为一个档次,不要增加其他中间档次一、填空(共8小题,每小题7分,共56分)1 若函数且,则 【答案】【解
3、析】 ,故2 已知直线和圆,点在直线上,为圆上两点,在中,过圆心,则点横坐标范围为 【答案】【解析】 设,则圆心到直线的距离,由直线与圆相交,得解得3 在坐标平面上有两个区域和,为,是随变化的区域,它由不等式所确定,的取值范围是,则和的公共面积是函数 【答案】【解析】 由题意知 4 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 【答案】【解析】 设显然单调递减,则由的最大值,可得5 椭圆上任意两点,若,则乘积的最小值为 【答案】【解析】 设,由,在椭圆上,有 得于是当时,达到最小值6 若方程仅有一个实根,那么的取值范围是 【答案】 或【解析】 当且仅当对由求根公式得, 或()当时,由得,所以,同为负根又由知,所以原方程有一个解()当时,原方程有一个解()当时,由得,所以,同为正根,且,不合题意,舍去综上可得或为所求7 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示)【答案】【解析】 易知:()该数表共有100行;()每一行构成一个等差数列,且公差依次为,()为所求
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