2007-2011全国高中数学联赛试题及答案

2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：10月17日上午800920）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分把答案填在横线上1函数的值域是 2已知函数的最小值为，则实数的取值范围是 3双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 4已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数，使得对每一个正整数都有，则 5函数（，）在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 6两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷先投掷人的获胜概率是 7正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角，则 8方程满足的正整数解（，）的个数是 二、解答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9（本小题满分16分）已知函数（），当时，试求的最大值10（本小题满分20分）已知抛物线上的两个动点（，）和（，），其中且线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值11（本小题满分20分）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得2010年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A卷）（考试时间：10月17日上午9401210）一、（本题满分40分）如图，锐角三角形的外心为，是边上一点（不是边的中点），是线段延长线上一点，直线与交于点，直线与交于点求证：若，则，四点共圆二、（本题满分40分）设是给定的正整数，记，证明：存在正整数，使得为一个整数这里表示不小于实数的最小整数，例如：，三、（本题满分50分）给定整数，设正实数，满足，记，求证：四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1 若函数且，则 【答案】【解析】 ，故2 已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，过圆心，则点横坐标范围为 【答案】【解析】 设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得解得3 在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 【答案】【解析】 由题意知 4 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 【答案】【解析】 设显然单调递减，则由的最大值，可得5 椭圆上任意两点，若，则乘积的最小值为 【答案】【解析】 设，由，在椭圆上，有 得于是当时，达到最小值6 若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 【答案】 或【解析】 当且仅当对由求根公式得， 或()当时，由得，所以，同为负根又由知，所以原方程有一个解()当时，原方程有一个解()当时，由得，所以，同为正根，且，不合题意，舍去综上可得或为所求7 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】【解析】 易知：()该数表共有100行；()每一行构成一个等差数列，且公差依次为，()为所求 设第行的第一个数为，则=故8 某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）【答案】 27【解析】 旅客候车的分布列为候车时间（分）1030507090概率候车时间的数学期望为二、解答题1 （本小题满分14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由【解析】 由消去化简整理得设，则 4分由消去化简整理得设，则 8分因为，所以，此时由得所以或由上式解得或当时，由和得因是整数，所以的值为，当，由和得因是整数，所以，于是满足条件的直线共有9条14分2 （本小题15分）已知，是实数，方程有两个实根，数列满足，()求数列的通项公式（用，表示）；()若，求的前项和【解析】 方法一：()由韦达定理知，又，所以，整理得令，则所以是公比为的等比数列数列的首项为：所以，即所以当时，变为整理得，所以，数列成公差为的等差数列，其首项为所以于是数列的通项公式为；5分当时， 整理得，所以，数列成公比为的等比数列，其首项为所以于是数列的通项公式为10分()若，则，此时由第()步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为以上两式相减，整理得所以15分方法二：()由韦达定理知，又，所以，特征方程的两个根为，当时，通项由，得， 解得故 5分当时，通项由，得 ， 解得，故 10分()同方法一3 （本小题满分15分）求函数的最大和最小值【解析】 函数的定义域为.因为当时等号成立故的最小值为5分又由柯西不等式得 所以 10分由柯西不等式等号成立的条件，得，解得故当时等号成立因此的最大值为15分2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A卷）说明：1评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次一、如图，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于求证：；在弧（不含点）上任取一点（，），记，的内心分别为，求证：，四点共圆【解析】 连，由于，共圆，故是等腰梯形因此，连，则与交于，因为，所以同理于是，故四边形为平行四边形因此（同底，等高）又，四点共圆，故，由三角形面积公式于是因为，所以，同理由得由所证，故又因，有故，从而因此，四点共圆二、求证不等式：，2，【解析】 证明：首先证明一个不等式：，事实上，令，则对，于是，在中取得令，则， 因此又因为从而 三、设，是给定的两个正整数证明：有无穷多个正整数，使得与互素【解析】 证法一：对任意正整数，令我们证明设是的任一素因子，只要证明：p若pk!，则由 及，且p+1k!，知且从而p 证法二：对任意正整数，令，我们证明设是的任一素因子，只要证明：p 若pk!，则由 即不整除上式，故p 若，设使，但故由 ,及，且p+1k!，知且从而p四、在非负数构成的数表 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，均大于如果的前三列构成的数表 满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，9）均存在某个使得求证：（）最小值，2，3一定自数表的不同列（）存在数表中唯一的一列，2，3使得数表仍然具有性质【解析】 （）假设最小值，2，3不是取自数表的不同列则存在一列不含任何不妨设，2，3由于数表中同一行中的任何两个元素都不等，于是，2，3另一方面，由于数表具有性质，在中取，则存在某个使得矛盾（）由抽届原理知，中至少有两个值取在同一列不妨设，由前面的结论知数表的第一列一定含有某个，所以只能是同样，第二列中也必含某个，2不妨设于是，即是数表中的对角线上数字 记，令集合显然且1，2因为，所以故于是存在使得显然，2，3下面证明数表 具有性质从上面的选法可知，这说明 ，又由满足性质在中取，推得，于是下证对任意的，存在某个，2，3使得假若不然，则，3且这与的最大性矛盾因此，数表满足性质下证唯一性设有使得数表 具有性质，不失一般性，我们假定 由于，及（），有又由（）知：或者，或者如果成立，由数表具有性质，则 ， ， 由数表满足性质，则对于至少存在一个使得由及和式知，于是只能有类似地，由满足性质及可推得从而2008全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）说明：1评阅试卷时，请依据本评分标准选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1函数在上的最小值是 （ C ）A0 B1 C2 D3解 当时，因此，当且仅当时上式取等号而此方程有解，因