2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理的应用举例练习 理 北师大版

1、4.7 正弦定理、余弦定理的应用举例核心考点精准研析考点一测量距离问题1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60m,那么河流的宽度BC=()A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m2.一船以每小时15km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔的距离为()A.60kmB.60kmC.30kmD.30km3.(2021衡阳模拟)如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且B与D互补,那么AC的长为() A.7kmB.8kmC.9kmD.6km4.如图,海中有一小岛C,一小船从A地出发由西向东航行,望见小岛C在北偏东60,航行8海里到达B处,望见小岛C在北偏东15,假设此小船不改变航行的方向继续前行2(-1)海里,那么离小岛C的距离为 ()A.8(+2)海里B.2(-1)海里C.2(+1)海里D.4(+1)海里【解析】1.选C.记气

2、球在地面的投影为D,在RtABD中,cos15=,又cos15=cos(60-45)=,所以AB=.在ABC中,由正弦定理得=,所以BC=AB=120(-1)(m).2.选A.画出图形如下图,在ABC中,BAC=30,AC=415=60,B=45,由正弦定理得=,所以BC=60,所以船与灯塔的距离为60km.3.选A.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,即AC2=25+64-258cosB=89-80cosB.在ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2ADDCcosD,即AC2=25+9-253cosD=34-30cosD.因为B与D互补,所以cosB=-cosD,所以-=,解得AC=7(km).4.选C.BC=4,所以离小岛C的距离为=2(+1)海里.距离问题的常见类型及解法1.类型:测量距离问题常分为三种类型:山两侧、河两岸、河对岸.2.解法:选择适宜的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.【秒杀绝招】直角三角形解T1,记气球在地面的投影为D,在RtACD中,tan60=,所以CD=60,在

3、RtABD中,因为tan15=,tan15=tan(60-45)=2-,所以BD=120-60,所以BC=CD-BD=120(-1)(m).考点二测量高度问题【典例】1.一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60,那么塔高为()A.mB.mC.mD.m2.如图,在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1.从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.那么从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为;塔BB1的高为m. 【解题导思】序号联想解题1由“测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60,想到作图,建立数学模型2由“60m“从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍“从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,想到A1ACCBB1【解析】1.选A.如下图.在RtACD中,CD=BE,在ABE中,由正弦定理得=,所以AB=,DE=BC=200-=(m).2.设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为,那么AA1=60

4、tanm,BB1=60tan2m.因为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,所以A1ACCBB1,所以=,所以AA1BB1=900,所以3600tantan2=900,所以tan=(负值舍去),所以tan2=,BB1=60tan2=45m.答案:45求解高度问题的关注点1.在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键.2.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.1.(2021宜春模拟)某工厂实施煤改电工程防治雾霾,欲撤除高为AB的烟囱,测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得BCD=75,BDC=60,CD=40米,并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30,且CE=1米,那么烟囱高AB=米.【解析】CBD=180-BCD-BDC=45,在CBD中,由正弦定理得BC=20,所以AB=1+tan30CB=1+20(米).答案:(1+20)2.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的

5、方向上,仰角为30,那么此山的高度CD=m.【解析】在ABC中,CAB=30,ACB=75-30=45,根据正弦定理知,=,即BC=sinBAC=300(m),所以CD=BCtanDBC=300=100(m).答案:100考点三测量角度问题命题精解读1.考什么:航行方向问题,航行时间、速度问题等等.2.怎么考:考查运用正弦定理、余弦定理解决航向,时间,速度等实际问题.3.新趋势:运用正弦定理、余弦定理解决实际问题.学霸好方法1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时可以画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样将空间几何问题转化为平面几何问题,处理起来既清楚又不容易出现错误.方向问题【典例】如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40,灯塔B在观察站南偏东60,那么灯塔A在灯塔B的 ()A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东80D.南偏西80【解析】选D.由条件及题干图知,CAB=CBA=40,又BCD=60,所以CBD=30,所以DBA=10,因此灯塔A在灯塔B的南偏

6、西80.解决测量角度问题时有哪些考前须知?提示:1.测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义.2.求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值.3.在解应用题时,要由正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理使用的优点.时间、速度问题【典例】如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45方向600kmA处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,那么该码头将受到热带风暴影响的时间为 ()A.14hB.15hC.16hD.17h【解析】选B.记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达点B位置,在OAB中,OA=600km,AB=20tkm,OAB=45,由余弦定理得OB2=6002+400t2-220t600,令OB24502,即4t2-120t+15750,解得t,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为-=15(h).如何求解码头将受到热带风暴影响的时间?提示:热带风暴速度,所以将时间问题转化为路程问题,即求出码头受到热带风暴影响时的风暴路线长度.运用解三角形知识求

7、解即可.1.如下图,两座花坛A和B与教学楼C的距离相等,花坛A在教学楼C的北偏东40的方向上,花坛B在教学楼C的南偏东60的方向上,那么花坛A在花坛B的的方向上.【解析】由,ABC=(180-80)=50,所以花坛A在花坛B的北偏西10的方向上.答案:北偏西102.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30,风速是20km/h;水的流向是正东,流速是20km/h,假设不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东,大小为km/h.【解析】如图AOB=60,由余弦定理知OC2=202+202-800cos120=1200,故OC=20,COY=30+30=60.答案:60201.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,那么从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A.30B.45C.60D.75【解析】选B.由,AD=20m,AC=30m,又CD=50m,所以在ACD中,由余弦定理得cosCAD=,又0CAD180,所以CAD=45,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.2.如图,在海岸A处发现北偏东45方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,那么CD=10t海里,BD=10t海里,在ABC中,由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=(-1)2+22-2(-1)2cos120=6,解得BC=,又因为=,所以sinABC=,所以ABC=45,B点在C点的正东方向上,所以CBD=90+30=120,在BCD中,由正弦定理,得=,所以sinBCD=.所以BCD=30,缉私船沿北偏东60的方向行驶.又在BCD中,CBD=120,BCD=30,所以D=30,所以BD=BC,即10t=,解得t=(小时)15(分钟).所以缉私船应沿北偏东60的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.- 1 -

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