【数学】平面向量全章复习讲义三-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
9页1、必修二-平面向量 平面向量全章复习 第三部分 平面向量的数量积与平面向量应用举例知识点一、平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积),记作ab.即ab|a|b|cos ,规定0a0.知识点二、向量数量积的运算律(1)abba (2)(a)b(ab)a(b) (3)(ab)cacbc知识点三、平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1,y1),b(x2,y2)结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|注意:1、若a,b,c是实数,则abacbc(a0);但对于向量就没有这样的性质,即若向量a,b,c,若满足abac(a0),则不一定有bc,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量2、数量积运算不适合结合律,即(ab)ca(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,a(bc)表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,因此(ab)c与a(bc)不一定相等典例1、如图,已知在AB
2、C中,AB3,AC2,BAC60,BEEC,AF2FC,则|( ) A B C D典例2、已知向量与满足,与的夹角大小为60,则_随堂练习:1、如图,在平面四边形中,.(1)求的值;(2)若是线段上一点(含端点),求的取值范围.2、已知向量,满足:,.(1)求与的夹角;(2)求;(3)若,求实数的值.典例3、已知,且向量在向量方向上的投影数量为.(1)求与的夹角;(2)求;(3)当为何值时,向量与向量互相垂直?典例4、已知,求:(1)与的夹角;(2)与的夹角的余弦值随堂练习:1、如图,在平面四边形中,设. (1)若,求x,y的值;(2) 若且与夹角的余弦值为,求与夹角的余弦值.2、 已知向量,的夹角为,且,(其中)当取最小值时,求与的夹角的大小3、如图,在菱形中,是的中点,交于点,设,.(1)若,求,的值;(2)若,求.4、如图,在正方形中,点是边上中点,点在边上上.(1)若点是上靠近的三等分点,设,求的值.(2)若,当时,求的值.得sin sin ,而,所以,.课 堂 练 习1、已知向量p(2,3),q(x,6),且pq,则|pq|的值为()A.B. C5 D13解析:选B由题意得2
3、63x0x4|pq|(2,3)(4,6)|(2,3)|.2、已知向量a(3,2),b(1,0),向量ab与a2b垂直,则实数的值为()A B. C D.解析:选C依题意,ab(31,2),a2b(1,2),(ab)(a2b)(31,2)(1,2)710,3、已知点A(1,1),B(1,2),C(2,1),D(3,4),则向量在方向上的投影为()A. B. C D解析:选A(2,1),(5,5),由定义知在方向上的投影为.4、平面上O,A,B三点不共线,设a,b,则OAB的面积等于()A. B. C. D.解析:选C因为cosa,b, 所以sinAOBsina,b ,则SAOB|a|b|sinAOB .5、若非零向量a,b满足|a|3|b|a2b|,则a与b夹角的余弦值为_解析:由|a|a2b|,两边平方,得|a|2(a2b)2|a|24|b|24ab,所以ab|b|2.又|a|3|b|,所以cosa,b. 答案:6、在ABC中,AB10,AC6,O为BC的垂直平分线上一点,则_.解析:取BC边的中点D,连接AD,则()()()(22)(62102)32.答案:32课 后 练 习一、选择
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