【数学】平面向量全章复习讲义三-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

必修二-平面向量 平面向量全章复习 第三部分 平面向量的数量积与平面向量应用举例知识点一、平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b|a|b|cos ，规定0·a0.知识点二、向量数量积的运算律(1)a·bb·a (2)(a)·b(a·b)a·(b) (3)(ab)·ca·cb·c知识点三、平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件a·b0x1x2y1y20|a·b|与|a|b|的关系|a·b|a|b|x1x2y1y2|注意：1、若a，b，c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c，若满足a·ba·c(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量2、数量积运算不适合结合律，即(a·b)·ca·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等典例1、如图，已知在ABC中，AB3，AC2，BAC60°，BEEC，AF2FC，则|（ ） A B C D典例2、已知向量与满足，与的夹角大小为60°，则_随堂练习：1、如图，在平面四边形中，.（1）求的值；（2）若是线段上一点（含端点），求的取值范围.2、已知向量，满足：，.（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数的值.典例3、已知，且向量在向量方向上的投影数量为.（1）求与的夹角；（2）求；（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？典例4、已知，求：（1）与的夹角；（2）与的夹角的余弦值随堂练习：1、如图，在平面四边形中，设. （1）若，求x，y的值；（2） 若且与夹角的余弦值为，求与夹角的余弦值.2、 已知向量，的夹角为，且，（其中）当取最小值时，求与的夹角的大小3、如图，在菱形中，是的中点，交于点，设，.（1）若，求，的值；（2）若，求.4、如图，在正方形中，点是边上中点，点在边上上.（1）若点是上靠近的三等分点，设，求的值.（2）若，当时，求的值.得sin sin ，而>，所以，.课 堂 练 习1、已知向量p(2，3)，q(x,6)，且pq，则|pq|的值为()A.B. C5 D13解析：选B由题意得2×63x0x4|pq|(2，3)(4,6)|(2,3)|.2、已知向量a(3，2)，b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则实数的值为()A B. C D.解析：选C依题意，ab(31，2)，a2b(1，2)，(ab)·(a2b)(31，2)·(1，2)710，3、已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B. C D解析：选A(2,1)，(5,5)，由定义知在方向上的投影为.4、平面上O，A，B三点不共线，设a，b，则OAB的面积等于()A. B. C. D.解析：选C因为cosa，b， 所以sinAOBsina，b ，则SAOB×|a|×|b|×sinAOB .5、若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_解析：由|a|a2b|，两边平方，得|a|2(a2b)2|a|24|b|24a·b，所以a·b|b|2.又|a|3|b|，所以cosa，b. 答案：6、在ABC中，AB10，AC6，O为BC的垂直平分线上一点，则·_.解析：取BC边的中点D，连接AD，则·()····()·()(22)(62102)32.答案：32课 后 练 习一、选择题1若向量a，b，c满足ab且ac，则c·(a2b)()A4 B3 C2 D02若向量a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于()A B. C. D.3已知a(1,2)，b(x,4)且a·b10，则|ab|()A10 B10 C D.4若a，b，c均为单位向量，且a·b0，(ac)·(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1 B1 C. D25已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题p1：|ab|>10，)p2：|ab|>1(，p3：|ab|>10，)p4：|ab|>1(，其中的真命题是()Ap1，p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p46已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为()A(0，) B(， C(， D(，二、填空题7已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1·b2_.8已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.9已知|a|b|2，(a2b)·(ab)2，则a与b的夹角为_三、解答题来源:Z10已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.11设a(1cos x,1sin x)，b(1,0)，c(1,2)(1)求证：(ab)(ac)；(2)求|a|的最大值，并求此时x的值12在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.若··k(kR)(1)判断ABC的形状；(2)若k2，求b的值课后练习答案一、选择题1解析：由ab及ac，得bc，则c·(a2b)c·a2c·b0. 答案：D2解析：2ab(3,3)，ab(0,3)，则cos2ab，ab，故夹角为. 答案：C3解析：因为a·b10，所以x810，x2，所以ab(1，2)，故|ab|.答案：D来源:om4解析：由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a21，b21，c21，由a·b0，及 (ac)(bc)0，可以知道，(ab)·cc21，因为|abc|2a2b2c22a·b2a·c2b·c，来源:学科网ZXXK所以有|abc|232(a·cb·c)1， 故|abc|1. 答案：B5解析：由|ab|>1可得：a22a·bb2>1，|a|1，|b|1，a·b>.故0，)当0，)时，a·b>，|ab|2a22a·bb2>1，即|ab|>1；由|ab|>1可得：a22a·bb2>1，|a|1，|b|1，a·b<.故(，反之也成立答案：A6解析：f(x)x3|a|x2a·bx在R上有极值，即f(x)x2|a|xa·b0有两个不同的实数解， 故|a|24a·b0cosa，b，又a，b0，所以a，b(， 答案：C二、填空题7解析：由题设知|e1|e2|1，且e1·e2，所以b1·b2(e12e2)·(3e14e2)3e2e1·e28e32×86 答案：68解析：ab与kab垂直，来源(ab)·(kab)0，化简得(k1)(a·b1)0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a·b10，得k10，即k1. 答案：19解析：由|a|b|2，(a2b)(ab)2，得a·b2，cosa，b，所以a，b60°. 答案：三、解答题10解：(1)设c(x，y)，由ca和|c|2可得，或，c(2,4)或c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)·(2ab)0，即2a23a·b2b20. 2|a|23a·b2|b|20.2×53a·b2×0，a·b. cos 1.0，.11解：(1)证明：ab(cos x,1sin x)，ac(cos x，sin x1)，(ab)·(ac)(cos x,1sin x)·(cos x，sin x1)cos2xsin2x10.(ab)(ac)(2)|a| 1.当sin(x)1，即x2k(kZ)时，|a|有最大值1.来源:学.科.网12解：(1)·cbcos A，·bacos C，bccos Aabcos C，根据正弦定理，得sin Ccos Asin Acos C，即sin Acos Ccos Asin C0，sin(AC)0，AC，即ac. 则ABC为等腰三角形(2)由(1)知ac，由余弦定理，得·bccos Abc·. ·k2，即2，解得b2.学科网（北京）股份有限公司