圆锥曲线解题技巧和方法综合

1、圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型:(1)中点弦问题,代入方程,具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数2如：(1)1 1(a b 0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(X0,y0),则有驾 当k 0 ba bx2y2xyn(2) 1(a0,b0)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(xqy0)则有一2 与k 0abab(3)y2=2px (p0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 yok=p.典型例题给定双曲线。过A (2, 1)的直线与双曲线交于两点及，求线段中点P的轨迹方程。(2)焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点p,与两个焦点构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，为焦点,(1)求证离心率esin( ). sinsin(2)求的最值。(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关 系、

2、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的 焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OALOB,求p关于t的函数f(t)的表达式。(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值 不等式)求最值。(1),可以设法得到关于 a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把 NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思想 ”。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判

3、别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0),过M (a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB| 0),求动点M的轨迹方程，并说明它是什 么曲线。(6)存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求 两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然 也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)典型例题已知椭圆c的方程,试确定m的取值范围，使得对于直线,椭圆C上有不同两点关于直线对称(7)两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题已知直线 的斜率为 ，且过点，抛物线，直线 与抛物线C有两个不同的交点(如图)。(1)求的取值范围；(2)直线 的倾斜角 为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：(1)充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，

4、所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘 几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若,求 的值。(2)充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解， 这种方法在有关斜率、 中点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点 O,焦点在 轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，,求此椭圆方程。(3)充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线:上的圆的方程。(4)充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的 三角代换法。X2 y2典型例题P为椭圆二 匕 1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形 OAPB面积的a b最大值及此时点 P的坐标。(5)线段长的几种简便计算方法充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为

5、，则V1 一己百，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。|a|例 求直线被椭圆所截得的线段 AB的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂 运算。例 、 是椭圆的两个焦点，AB是经过 的弦，若，求值| F2 A | | F2B |利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例 点A (3, 2)为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点 P的坐标。圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1.直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容倾斜角与斜率k tan ,0,)点到直线的距离d Ax0 By0 C夹角公式：tan旦1A2 B21 k2ki(3)弦长公式直线 y kx b 上两点 A(xi,yi), B(X2,y2)间的距离：| AB Ji kx x?J(1 k2)(Xi X2)2 4X1X2或 AB| ，1 j|yi y2(4)两条直线的位置关系.i2k1k2=-1 l1 /l2 k1 卜2且

6、4b22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)22标准方程： 1(m 0, n 0且m n)m n距离式方程：(xc)2y2 ( (x c)2y2 2a参数方程：x a cos , y bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种22标准方程：1(m n 0) m n距离式方程：| (x c)2 y2(x c)2 y2 | 2a(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？如:22已知F1、F2是椭圆人 匕1的两个焦点，平面内一个动点 M满足 43MFj |MF2| 2则动点M的轨迹是()A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，S fpf2 b2tan-(其中 F1PF2,cos222|PFi|2 |PF2|2 4c2IPFiI |PF2|uur uum ,PFi?PF2uur uuuir|PFJ| PF2 1cos )(6)、记住焦半彳5公式：(1)椭圆焦点在x轴上时为a e%;焦点在y轴上时为a e% ,可简 记为“左加右减，上加下减”。(2)双曲线焦点在x轴上时为e|x0|

7、a(3)抛物线焦点在x轴上时为|Xi| E,焦点在y轴上时为|yj E 22(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？_第二、方法储备1、点差法（中点弦问题）设 A Xi, yi22B2 , Ma,b为椭圆亍卷1的弦AB中点则有2222Xiyi1X2y24343221;两式相减得X1x2422y y23X1X2 X1X2y1y2 y1y23a4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方 程，使用判别式0,以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A（x,y1）,B（X2,y2）,将这两点代入曲线方程得到 两个式子，然后 6-0, 整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直 线为y kX b ,就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2 80上，且点A是椭圆短轴 的一个端点（点A在y轴正半

8、轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC的方程；（2）若角A为90, AD垂直BC于D ,试求点D的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角 A为90可得出ABXAC,从而得 X1X2 y1y2 14（y1 y） 16 0 ,然后利用联立消元法及交轨法求出点 D的轨迹方程；2 222解：（1）设 B（X1,y1）,C（X2,y2 ）,BC 中点为（X0,y0）,F（2,0则有旦1也 血 120 1620 16两式作差有(X1 X2)(X1 X2) (y1 y2)(y1 y)20160 a Xk 0 (1)54F(2,0)为三角形重心，所以由2 2,得x03y1y243 , 田。信y3(1)得k 65直线BC的方程为6x5y 28 02)由 ABLAC 得X1X2yiy2 14(yi y) 160(2)设直线BC方程为ykx b,代入 4x2 5y2 80 ,得(4 5k2)x2 10bkx5b280 0X1x210kb2. ui 2,4 5kXlX25b2 804 5k2y1 y28k4 5k2,yi y24b2 80k2-代入4 5k(2)式得吟尊的。，解得b 4(舍.直线过定点(0,4)，设 D (x,y)所以所求点D的轨迹方程是x2 (y4 y9 L 1,即 9y2 X X(空)2(y 4)。99x232y 16 04、设而不求法例2、如图,已知梯形ABCD中|ab

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