(江苏专用)高考数学二轮复习 专题检测33 椭圆问题中最值得关注的几类基本题型
6页1、33椭圆问题中最值得关注的几类基本题型1“2m6”是“方程1表示椭圆”的_条件答案必要不充分解析若1表示椭圆,则有所以2m6且m4,故“2mMN,由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆3已知椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且PF1,F1F2,PF2成等差数列,则椭圆方程为_答案1解析设椭圆的标准方程为1(ab0)由点(2,)在椭圆上知1.又PF1,F1F2,PF2成等差数列,则PF1PF22F1F2,即2a22c,.又c2a2b2,联立得a28,b26.4(2014大纲全国改编)已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4,则C的方程为_答案1解析由e,得.又AF1B的周长为4,由椭圆定义,得4a4,得a,代入得c1,所以b2a2c22,故C的方程为1.5(2014福建改编)设P,Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点,则P,Q两点间的最大距离是_答案6解析如图所示,设以(0,6)为圆心,以r为半径的圆的方程为x2(y6)2r2(r0),与椭圆方程y21联立得方程组,消掉x2得9y212yr2
2、460.令12249(r246)0,解得r250,即r5.由题意易知P,Q两点间的最大距离为r6.6.如图,F1,F2是椭圆C1:y21与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是_答案解析设AF1m,AF2n,则有mn4,m2n212,因此122mn16,所以mn2,而(mn)2(2a)2(mn)24mn1688,因此双曲线的a,c,则有e.7椭圆1(ab0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1、F2.若AF1,F1F2,F1B成等比数列,则此椭圆的离心率为_答案解析由椭圆的性质可知:AF1ac,F1F22c,F1Bac,又AF1,F1F2,F1B成等比数列,故(ac)(ac)(2c)2,可得.8(2014辽宁)已知椭圆C:1,点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则ANBN_.答案12解析椭圆1中,a3.如图,设MN的中点为D,则DF1DF22a6.D,F1,F2分别为MN,AM,BM的中点,BN2DF2,AN2DF1,ANBN2(DF1DF2)12.9(2014
3、江西)过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C:1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为_答案解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则0,.,x1x22,y1y22,a22b2.又b2a2c2,a22(a2c2),a22c2,.10(2014安徽)设F1,F2分别是椭圆E:x21(0bb0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且MN5F1N,求a,b.解(1)根据c及题设知M(c,),2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac,解得,2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故4,即b24a.由MN5F1N,得DF12F1N.设N(x1,y1),由题意知y1b0)的左,右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.(1)若点C的坐标为,且BF2,求椭圆的方程;(2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值解设椭圆的焦距为2c,则F1(c,0),F2(c,0)(1)因为B(0,b),所以BF2a.又BF2,故a.因为点C在椭圆上,所以1,解得b21.故所求椭圆的方程为y21.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为,直线AB的斜率为,且F1CAB,所以1.又b2a2c2,整理得a25c2.故e2,因此e.
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