中考数学一轮复习 第05讲 一次方程（组）及其应用（讲义）（解析版）

1、第05讲 一次方程（组）及其应用目 录 1 / 67学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司一、考情分析二、知识建构考点一 等式的基本性质题型01 利用等式的性质判断变形正误题型02 利用等式的性质求解考点二 一元一次方程题型01 判断一元一次方程题型02 解一元一次方程题型03 一元一次方程的特殊解题技巧【类型一】分母含小数的一元一次方程技巧1 巧化分母为1技巧2 巧化同分母技巧3 巧约分去分母【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程技巧1 巧用拆分法技巧2 巧用对消法技巧3 巧通分【类型三】含括号的一元一次方程技巧1 利用倒数关系去括号技巧2 整体合并去括号技巧3 整体合并去分母技巧4 由外向内去括号技巧5 由内向外去括号题型04 错看或错解一元一次方程问题考点三 二元一次方程（组）题型01 二元一次方程（组）的概念题型02 解二元一次方程组题型03 二元一次方程组特殊解法类型一 引入参数法类型二 特殊消元法-方程组中两未知数系数之差的绝对值相等类型三 特殊消元法-方程组中两未知数系数之和的绝对值相等类型四 换元法类型五 同解交换法类型六 主元法题型04 错看或错解二元

2、一次方程组问题题型05 构造二元一次方程组求解题型06 解三元一次方程组考点四 一次方程（组）的应用题型01 利用一元一次方程解决实际问题类型一 配套问题类型二 工程问题类型三 增长率问题类型四 销售利润问题类型五 比赛积分问题类型六 方案选择问题类型七 数字问题类型八 日历问题类型九 几何问题类型十 和差倍分问题类型十一 行程问题题型02 利用二元一次方程解决实际问题类型一 配套问题类型二 方案选择问题类型三 年龄问题类型四 几何问题类型五 行程问题类型六 古代问题类型七 图表问题类型八 工程问题原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 30学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司考点要求新课标要求命题预测等式的基本性质 理解等式的基本性质一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”.中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点.预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢

3、分，学生应扎实掌握一元一次方程 能解一元一次方程二元一次方程（组） 掌握消元法，能解二元一次方程组 能解简单的三元一次方程组选学一次方程（组）的应用 利用一次方程求解实际问题考点一 等式的基本性质1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母.题型01 利用等式的性质判断变形正误【例1】（2022青海省中考）下列说法中，正确的是（）A若ac=bc，则a=bB若a2=b2，则a=bC若ac=bc，则a=bD若13x=6，则x=2【答案】C【提示】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质提示得出答案【详解】解：A、若ac=bc，当c0，则a=b，故此选项错误；B、若a2=b2，则a=b，故此选项错误；C、若ac=bc，则a=b，故此选项正确；D、若13x=6，则x=18，故此选项错误；故选：C【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键【变式1-1】（2023山西大同校联考模拟预测）下列等式变形正确的是（）A若x=y，则xz=yzB若ac=bc，则a=bC若x2=4x，

4、则x=4D若ac=bc，则a=b【答案】D【提示】根据等式的性质逐一判断即可【详解】解：A、当z=0时，由x=y不能得到xz=yz，变形错误，不符合题意；B、当c=0时，由ac=bc不一定能得到a=b，变形错误，不符合题意；C、若x2=4x，则x=4或x=0，变形错误，不符合题意；D、由ac=bc，可以得到a=b，变形正确，符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立【变式1-2】（2023沧州市二模）如果xy，那么根据等式的性质下列变形正确的是（）Axy0Bx5=5yCx2y2Dx7y7【答案】C【提示】利用等式的基本性质逐一判断各选项可得答案【详解】解：x=y，xy=yy=0, 故A错误；x=y，x5=y5, 故B错误；x=y，x2=y2, 故C正确；x=y，x+7=y+7, 故D错误；故选：C.【点睛】本题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键 利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子

5、发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质 2.题型02 利用等式的性质求解【例2】（2023河北唐山一模）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中同一种物体的质量都相等下列四个天平中只有一个天平没有处于平衡状态，则该天平是（）ABCD【答案】B【提示】设“”的质量为x，“”的质量为y “”的质量为m，列出等式，根据等式的性质计算判断即可【详解】设“”的质量为x，“”的质量为y “”的质量为m，根据题意，得2x=4y即x=2y，故A正确，不符合题意；x+m=m+2y，故C正确，不符合题意；故B不正确，符合题意；x+2m=2m+2y，故D正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了等式的性质，正确理解等式的性质是解题的关键【变式2-1】（2023河北承德校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（）A如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不为0）B如果a=b，那么a+c=b+c（a，b，c均不为0）C如果ac=bc，那么a=b（a，b，c均不为0）D如果a=b，那么ac=bc（a，b，c均不为0）【答案】A【提示】根据等式的性质解答即可【详解

6、】解：观察图形，是等式a+c=b+c的两边都减去c（a，b，c均不为0），利用等式性质1，得到a=b，即如果a+c=b+c，那么a=b（a，b，c均不为0）故选：A【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键【变式2-2】（2022山东滨州中考真题）在物理学中，导体中的电流跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：I=UR去分母得IR=U，那么其变形的依据是（）A等式的性质1B等式的性质2C分式的基本性质D不等式的性质2【答案】B【提示】根据等式的性质2可得答案【详解】解：I=UR去分母得IR=U，其变形的依据是等式的性质2，故选：B【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立【变式2-3】（2023河北沧州校考模拟预测）已知2021202220222021+x=0，则x的值是()A20222021+20212022B20222021+20212022C2022202120212022D2022202120212022【答案】C【提示】根

7、据等式的性质进行计算即可【详解】解：将原式两边同时减去2021202220222021可得：x=2021202220222021，即x=2022202120212022，故选：C【点睛】本题考查等式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握【变式2-4】（2023 衡水市中考模拟）若等式m+a=n-b根据等式的性质变形得到m=n，则a、b满足的条件是（）A相等B互为倒数C互为相反数D无法确定【答案】C【提示】根据等式的性质，两边都加上b，然后判断即可得解【详解】解：m+a=n-b两边都加上b得，m+a+b=n，等式可变形为m=n，a+b=0，a=-b故选：C【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立考点二 一元一次方程一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a0）解一元一次方程的基本步骤：1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.

8、2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1.3. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用4. 对于分母中含有小数的一元一次方程当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数题型01 判断一元一次方程【例1】（2020浙江模拟预测）下列各式：2+5=3；3x5=x2+3x；2x+1=1；2x=1；2x+3；x=4其中是一元一次方程的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可【详解】解：不含未知数，故错未知数的最高次数为2，故错含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对左边不是整式，故错不是等式，故错含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对故选：B【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键【变式1-1】（2021贵州一模）已知关于x的方程k24x2+k2x=k+6是一元一次方程，则方程的解为（）A-2B2C-6D-1【答案】D【分析】利用一元一次方程的定义确定出k的值，进而求出k的值即可【详解】解：方程k24x2+k2x=k+6是关于x的一元一次方程，k24=0k20 ，解得：k=-2，方程为-4x=-2+6，解得：x=-1，故选：D【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键【变式1-2】（2023 九江市一模）已知k1xk+3=0是关于x的一元一次方程，则k值为 【答案】1【分析】由一元一次方程的定义可直接进行列式求

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