湖南省部分名校2023届高三下学期5月冲刺压轴大联考数学试题及答案

1、绝密启用前2023届高三5月冲刺压轴大联考数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则集合中元素个数为（ ）A1B2C2023D20242已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）ABCD3阅读下列材料：有理数都能表示成（，且与互质）的形式，从而有理数集，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数例如：循环小数化成分数为（ ）ABCD4在中，已知，向量在向量上的投影向量为，点是边上靠近的三等分点，则（ ）A3B6C7D95已知是直线的倾斜角，则的值为（ ）ABCD6学校校园从教室到寝室的一排路灯共12盏，按照规定，如果两端有坏了的路灯或者中间同时坏了相邻的两盏或两盏以上的路灯，就必须马上维修，已知这排路灯坏了3盏，则这排路灯必须马上维修的概率为（ ）ABCD7定义：与圆锥的底面和各母线均相切的球，称为圆锥的内切球，此圆锥称为球的外切圆锥已知某圆锥的内切球半径等于1，则该圆锥体积的最小值为（ ）ABCD8如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左、右

2、两支于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是，则下列命题正确的是（ ）A该简谐运动的初相为B该简谐运动的频率为C前6秒该质点的位移为D当时，位移随着时间的增大而增大10下列说法中正确的是（ ）A已知离散型随机变量，则B一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158C若，则事件与相互独立D根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据的独立性检验可得：变量与独立，这个结论错误的概率不超过0.05附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值0.10.050.012.7063.8416.63511已知圆，直线，则（ ）A直线恒过定点B直线能表示平面直角坐标系内每一条直线C对任意实数，直线都与圆相交D直线被圆截得的弦长的最小值为12在棱长为1的正方体中，为正方体表面上的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则

3、下列说法正确的是（ ）A点的轨迹确定的图形是平面图形B点的轨迹长度为C的最小值为D当点在侧面上时，的最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分132023年5月湖南省部分高三学生参加高三第一次模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且若参加此次联考的学生共有80000人，则数学成绩超过100分的人数大约为_14若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为_15已知抛物线的焦点为，过点且斜率为正的直线与抛物线相交于两点，且若过点的圆与直线相切于第一象限的点，则的值为_16已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17（本小题满分10分）已知数列的首项，且满足（1）求证：数列是等差数列；（2）若数列满足，求数列的前项和18（本小题满分12分）在中，分别是角所对的边，向量，且（1）求角的大小；（2）若，求外接圆半径的最小值19（本小题满分12分）如图，在三棱台中，（1）证明：平面平面；（2）设是的中点，求平面与平面夹角的余弦值20（本小题满分12分）华为云服务是华为公司在ICT

4、领域通过30多年的技术攻坚和经验积累，将产品解决方案开放给用户，为用户提供集个人数据同步、云相册、手机找回等多种基础云功能，旨在为消费者提供一站式易用、快捷、智能、安全的个人数据管理服务华为云服务采用按需使用、按需付费的一站式IT计算资源租用服务据调查，在某一地区自2016年至2022年以来，7年的使用用户数如下表所示：（x表示年度，2016年度记为1，2017年度记为2，依次类推，2022年度记为7；y表示该年度使用的用户数，单位：千户）x1234567y79213666100198根据以上数据，绘制了如图所示的散点图（1）根据散点图判断，在这7年内，与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为该地区华为云用户数（千户）关于年度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；并根据表中数据，求关于的经验回归方程，估计2023年度用户数（保留到千户位）；（2）该地区按用户使用华为云服务的时间，从高到低评为三个等第的星级，其中连续使用华为云5年以上的用户评为“五星用户”，三年以上五年以下的用户评为“三星用户”，其它用户评为“星级用户”，每位用户年服务费按星级从高到低依次为50元、70元、9

5、0元为了拓展用户数量，该地区今年推出一项用户星级升级的抽奖活动，每位用户可抽奖两次，每次抽奖有的概率升两级，有的概率升一级，还有的概率不升级，最高升为“五星用户”现某家庭有2位华为云用户，其中甲是“三星用户”，乙是“星级用户”，求今年该家庭支付华为云服务费的分布列与数学期望参考数据：62.431.54254850.123.47其中参考公式：经验回归直线方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为21（本小题满分12分）已知双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离等于其离心率（1）求双曲线的方程；（2）若直线与椭圆相切，且与双曲线的左、右支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点为坐标原点，记的面积分别为，当时，求直线的方程22（本小题满分12分）已知函数与分别是与的导函数（1）证明：当时，方程在上有且仅有一个实数根；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围2023届高三5月冲刺压轴大联考数学参考答案、提示及评分细则1【答案】A【解析】集合，元素个数为1故选A2【答案】B【解析】，所以要使为纯虚数，则，解得：故选B3【答案】D【解析】故选D4【答案】C【解析】向量在向量上的投影向量为

6、，又，故选C5【答案】B【解析】法一：由题意可知，（为锐角），故选B法二：由题意可知，（为锐角），故选B6【答案】A【解析】设必须马上维修记为事件，则不需要马上维修为，而表示9盏灯正常，且在9盏的中间有任意2盏都不相邻的3盏已坏的灯，故选A7【答案】C【解析】如图，作出该几何体的轴截面得到如图所示的平面图形，设该圆锥的内切球球心为，底面圆的圆心为点，底面半径为，高为，法一：由等面积法可得：，化简得：，又：，当且仅当，即时取等号故选C法二：如图：，当且仅当，即时取等号8【答案】B【解析】由平面几何知识可知：，连接设，则，在中，由勾股定理有，解得，在中，由，得，解得故选B9【答案】AD【解析】由图可知，且在内，随着的增大而增大，对于A：，A正确；对于B：，B错误；对于C：当时，C错误；对于D：时，当时，位移随着时间的增大而增大，D正确故选AD10【答案】BC【解析】对于A：根据二项分布的方差公式可得：，A错误；对于B：，这组数据的第75百分位数为第8个数158，B正确；对于C：，根据事件独立性的定义可知：事件与相互独立，C正确；对于D：根据的值以及常用的概率值与相应临界值可知：依据的独立性

7、检验可得：变量与相互独立，这个结论错误的概率不超过0.1D错误故选BC11【答案】ACD【解析】对于A：直线的方程可化为，联立解得所以直线恒过定点，A正确；对于B：直线不能表示直线，也不能表示不过点的直线，B错误；对于C，直线恒过圆内一点，所以直线与圆相交，C正确；对于D，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，所以最短弦长为，D正确故选ACD12【答案】BCD【解析】如图建立空间直角坐标系，则直线与的夹角为，当点在侧面上时，不合题意；当点在底面和侧面上时，点到直线的距离大于的长度，此时，与的夹角大于；当点在侧面和底面上时，可知线段满足题意；当点在侧面上时，由，可知，此时弧为所求点的轨迹为线段，弧，显然线段，弧不共面，A错误；对于B：点的轨迹长度为，B正确；对于C：若在线段上，则的最小值为1；同理：若在线段上，则的最小值也为1；若在弧上，则的最小值为；C正确；对于D：，且，由题意设，则，等号当且仅当，且，即时成立D正确故选BCD13【答案】12000【解析】总体密度函数为：，由，得，超过100分的人数大约为14【答案】【解析】是奇函数，对恒成立，即对恒成立，曲线在点处的切线方程为，化简得15

8、【答案】【解析】过点且斜率为正的直线与拋物线相交于两点，设联立可得，由，可得，的方程为，由在圆上，可知圆心的横坐标为，设圆心为，则半径，圆的方程为，该圆与相切，解得或（舍去），此时圆的方程为，联立方程可求得，又由，三点的坐标易知16【答案】【解析】当时，符合题意；当时，令，则，可化为，令，则，时，单调递减，时，单调递增，所以的最小值为，对于任意，都有等价于即对于：由在上单调递增，且，可知，即且在且的条件下，对：由时，单调递减，可得，成立综上可知：实数的取值范围为17【答案】（1）略 （2）【解析】（1）证明：由，可得，是以3为首项，2为公差的等差数列；（2）由（1）知：，18【答案】（1） （2）【解析】（1），且，由正弦定理知：（是外接圆半径），即，而是的三内角，；（2），即外接圆半径的最小值为19【答案】（1）略 （2）【解析】（1）证明：由三棱台知：，在梯形中，取的中点，连接，则四边形是平行四边形，又，平面，平面平面；（2）解：由（1）知：平面平面；取的中点的中点，连接，由条件知：四边形是等腰梯形，平面，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，则在等腰梯形中，由平面几何知识可得：，设平面的法向量，则由得令，得，又平面的法向量，设平面与平面的夹角为，则20【答案】（1）时，千户

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